Побудова бажаної ЛАЧХ системи

1. Вибір бажаної типової ДЧХ.

Для спрощення вибору ДЧХ існує набір розрахованих і побудованих перехідних функцій систем, які відповідають різноманітним типовим ДЧХ із різними параметрами. Якщо, наприклад, взяти систему з найбільш простою, а саме із прямокутною трапецієподібною ДЧХ, що має коефіцієнт нахилу Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , то ми одержимо гарні перехідні процеси, які можуть бути прийняті за оптимальні.

Звичайно, у реальних системах реалізувати ДЧХ у вигляді простої трапеції (рис. 1,а) досить складно. У цьому випадку або необхідно складний коригувальний пристрій, або зовсім неможливо реалізувати на практиці такі характеристики.

P(w)
0,5
wа
w
Р(0)
Рmax
Pmin
P(w)
wП
wС
wП
w3
w2
w1
w4
w5
w
w0

Рисунок 1. Типові ДЧХ

Значно простіше реалізувати типову ДЧХ, що зображена на рис.1,б і яка характеризується наступними параметрами:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – основний коефіцієнт нахилу;

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – перший додатковий коефіцієнт нахилу;

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – другий додатковий коефіцієнт нахилу;

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – перший коефіцієнт форми;

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – другий коефіцієнт форми.

Для різних значень коефіцієнтів Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru і Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru встановлено, що найкращі перехідні процеси можуть бути отримані в системах із ДЧХ, що характеризується коефіцієнтами Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru . Величина перерегулювання при таких коефіцієнтах як правило залежить від Рmax > 0.

2. Визначення Pmax і Pmin типової ДЧХ.

Pmax і Pmin типової ДЧХ побічно характеризують перерегулювання в системі керування. Для визначення Pmax використовується номограма проф. В.В.Солодовникова (мал.2), що представлена у вигляді залежностей Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru і Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

Рисунок 2. Номограма для визначення Рmax і Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Якщо ДЧХ має негативний «хвіст», то додатково викликане нею перерегулювання Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru визначається за формулою:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Тоді величину максимального перерегулювання знайдемо з умови:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru ,

де величина Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru визначається із графіка Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (рис.2).

Загальне перерегулювання буде дорівнювати:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru . (1)

На практиці приймають:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (2)

Таким чином, маючи графік Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru і з огляду на (1) і (2), можна визначити Рмах і Рmin, які задовольняють заданому перерегулюванню Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

3. Визначення частоти позитивності Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru типової ДЧХ.

Частота позитивності Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru типової ДЧХ побічно характеризують швидкодію системи керування. Визначається частота позитивності за графіком Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru номограми проф. В.В.Солодовникова виходячи із заданого часу регулювання Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru й отриманого значення Pmax:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

де коефіцієнт Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru знаходять із графіку Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (мал.2).

4. Визначення параметрів бажаної ЛАЧХ.

- вибір частоти зрізу Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru бажаної ЛАЧХ:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

- вибір нахилу бажаної ЛАЧХ в області середніх частот (частоти зрізу). Нахил асимптоти бажаної ЛАЧХ, що проходить через частоту зрізу приймають рівним – 20 дБ/дек. При більшому нахилі важко забезпечити необхідний запас стійкості, перерегулювання й коливальність у системі.

- визначення ширини середньочастотної ділянки бажаної ЛАЧХ.

Для задоволення заданого значення перерегулювання необхідно виконати наступні умови:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (3)

Еквівалентні вимоги до ЛАЧХ можна знайти за допомогою номограми перекладу ЛАФЧХ розімкнутої системи у ДЧХ замкнутій (рис.3). З номограми видно, що умова (3) еквівалентна тому, щоб ЛАФЧХ не заходила в заборонну область, обмежену кривими з індексами Рмах і Рmіn (приблизно ці криві можна замінити прямокутником).

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

Рисунок 3. Визначення запасів стійкості по фазі й по амплітуді

З вимог до ЛАФЧХ випливають еквівалентні вимоги до ЛАЧХ і ЛФЧХ: для забезпечення заданого перерегулювання необхідно, щоб у діапазоні частот від Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru до Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru виконувалися наступні умови: Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Ординати L1 і L2, що знайдені з умов забезпечення заданого перерегулювання Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , називають запасом стійкості по амплітуді. Різниця Dj(w)=180-|j1| називається запасом стійкості по фазі.

5. Побудова бажаної ЛАЧХ.

Бажана ЛАЧХ складається із трьох основних асимптот: низькочастотної, середньочастотної і високочастотної. Крім того, можуть бути асимптоти, що сполучають, з'єднуючі основні.

Низькочастотна ділянка бажаної ЛАЧХ відповідає за точність системи в сталому режимі. Вихідними даними для побудови цієї асимптоти є: необхідний порядок астатизму, величина помилки, вид вихідної ЛАЧХ. В області НЧ бажана ЛАЧХ - це пряма, що проходить через точку Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru при Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru . Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru - розрахований з умови точності коефіцієнт передачі розімкнутого контуру:

- для системи з астатизмом першого порядку Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru визначається з умови одержання заданої швидкісної помилки Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru при відомій величині вхідного впливу Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru . Загальний коефіцієнт підсилення системи з астатизмом першого порядку дорівнює:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

- для статичної системи загальний коефіцієнт підсилення системи визначається за формулою:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru

де Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – статизм об'єкта; Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru – статизм системи;

- Якщо задано максимально припустиму амплітуду сигналу помилки Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru при гармонійному вхідному впливі Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru , те низькочастотна частина бажаної ЛАЧХ повинна розташовуватися не нижче контрольної точки, що має на частоті Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru ординату Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (точка F).

- Якщо вхідний вплив має більш складний вид, чим гармонійний вплив і відомі максимальні значення його першої й другої похідних, то можна підібрати еквівалентний гармонійний вплив з такими ж значеннями похідних. З умови рівності максимальних значень похідних реального вхідного впливу й еквівалентного гармонійного обчислюють еквівалентні значення частоти й амплітуди:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru ; Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Проведення бажаної ЛАЧХ на 3 дБ вище точки з координатами Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru (точка F) забезпечує динамічну помилку не більше заданої.

На практиці за низькочастотну асимптоту бажаної ЛАЧХ приймають НЧ асимптоту вихідної ЛАЧХ із необхідним коефіцієнтом передачі.

Середньочастотна асимптота бажаної ЛАЧХі її сполучення з низькочастотної визначають динамічні властивості системи – стійкість і показники якості перехідної характеристики.

Середньочастотна асимптота бажаної ЛАЧХ проводиться через точку Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru з нахилом - 20 дБ/дек. При більшому нахилі важко забезпечити необхідний запас стійкості й припустиме перерегулювання.

Довжина середньочастотної асимптоти встановлюється виходячи з необхідного запасу стійкості (використовуючи знайдені раніше значення L1 і L2). Із цих же міркувань вибирають її сполучення з низькочастотної асимптотою. Крім того, асимптоту, що сполучає, варто вибирати так, щоб характеристика Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru можливо менше відрізнялася від Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru і коригувальний пристрій було можливо більше простим.

Спочатку потрібно провести прямі з ординатами L1 і L2, до перетинання з якими продовжують середньочастотну асимптоту. Потім із крапки перетинання середньочастотної асимптоти із прямою L1 нанести асимптоту, що сполучає, з нахилом -40 дБ/дек або -60 дБ/дек до перетинання з низькочастотною асимптотою.

При сполученні необхідно забезпечити, щоб в інтервалі частот від Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru до Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru в якому значення ординати бажаної ЛАЧХ укладені між L1 і 0, запас стійкості по фазі був не менше Dj(w)=180-|j1|. Якщо ж запас стійкості по фазі менше необхідного, то асимптоту, що сполучає, необхідно перемістити вліво. У іншому випадку (при занадто великому запасі стійкості) асимптота, що сполучає, переміщається вправо. Чим більший діапазон займає низькочастотна асимптота, тим краще система відтворює низькочастотні зміни впливу, що задає.

Високочастотна асимптота бажаної ЛАЧХмало впливає на властивості системи. Тому її варто вибирати так, щоб коригувальний пристрій був як можливо більше простим. Це досягається при сполученні високочастотних асимптот характеристик Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru і Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru . Якщо сполучення не вдається, то високочастотна асимптот Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru повинна мати той же нахил, що й високочастотна асимптот Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

Після побудови бажаної ЛАЧХ визначають характеристику коригувального пристрою.

ЛАЧХ послідовного коригувального пристрою Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru визначаю графічним вирахуванням ординат ЛАЧХ вихідної (некоректованої) системи з ординат бажаної ЛАЧХ:

Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru .

За отриманим вираженням Побудова бажаної ЛАЧХ системи - student2.ru знаходять передатну функцію послідовного коригувального пристрою Wк1(p). Потім з'ясовують, при якому значенні передатної функції Wк2(p) паралельного коригувального пристрою й при якому значенні передатної функції Wк3(p) прямого паралельного коригувального пристрою буде отриманий той же ефект. Потім уже можна вирішувати, який коригувальний пристрій доцільніше створювати.

Після вибору технічної реалізації обраного типу коригувального пристрою визначають показники якості в скоректованій замкнутій системі управління.

ПЕРЕЛІК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Теория автоматического управления / Под ред. А.А.Воронова - М.: Высшая школа, 1986, ч. 1, 2.

2. Теория автоматического управления / Под ред. А.В.Нетушила - М.: Высшая школа, 1983. – 432 с.

3. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. 304 с.

4. Зайцев Г.Ф., Стеклов В.К., Бріцький О.І. Теорія автоматичного управління. - К., Техніка, 2002.- 688 с.

5. Попович М.Г., Ковальчук О.В. Теорія автоматичного керування. Підручник. – Київ: Либідь, 1997. – 544с.

6. Лукас В. А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – 416 с.

7. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. Киев: Вища школа, 1988 - 431 с.

Навчальне видання

Конспект лекцій з курсу

"Теорія автоматичного управління"

Частина 1 - Аналіз та синтез лінійних САУ

Для студентів, що навчаються за напрямом

6.050201“Системна інженерія” (СУА)

(для денної й заочної форм навчання)

Укладач: Федюн Роман Валерійович, к.т.н, доц.

Рецензент Секірін Олександр Іванович, к.т.н, доц.

Відповідальний

за випуск Бессараб Володимир Іванович, к.т.н., доц.., зав. каф.

Наши рекомендации