Несколько простых модификаций метода Эйлера

Разовьем последний из подходов к построению метода Эй­лера. Очевидно, применение к интегральному равенству (13) других простейших квадратурных формул будет порождать но­вые методы численного интегрирования задачи Коши (1)-(2).

Так, если в (13) использовать простейшую квадратурную формулу правых прямоугольников, придем к методу

(14)

Этот метод называют неявным (или обратным) методом Эйле­ра, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется ре­шать уравнение, в общем случае нелинейное.

Применение к интегралу в (13) простейшей квадратур­ной формулы трапеций приводит тоже к неявному методу

(15)

который будем называть методом трапеций. Квадратурная формула трапеций на порядок точнее формул левых и правых прямоугольников. Отсюда вытекает более высокий (на единицу) порядок точности метода трапеций (15) по сравне­нию с явным и с неявным методами Эйлера (8) и (14), т.е. метод трапеций (15) — это метод второго порядка.

Некоторый интерес представляет совместное применение явного метода Эйлера и неявного метода трапеций.

По форме равенство (15) представляет собой скалярную задачу о неподвижной точке относительно неизвестного значе­ния у_i+1. Поэтому, если в правую часть (15) подставить хо­рошее начальное приближение , подсчитываемое по форму­ле (14), то тогда само это равенство можно считать шагом метода простых итераций для уточнения этого значения. Таким образом, получаем гибридный метод

i=0,1,..., n, (16)

который называют методом Хойна.

Ясно, что можно достичь большей точности, если, исходя из того же начального приближения

сделать не одну, а несколько итераций по методу трапеций:

(17)

Такой вариант совместного применения метода Эйлера и метода трапеций называют усовершенствованным методом Эйлера-Коши с итерационной обработкой. Делать много итера­ций по формуле (17) не рекомендуется (обычно их выполняют не более трех-четырех). Совпадение определенного числа разря­дов в полученных числах говорит о точности, с ко­торой решено методом простых итераций уравнение (15) от­носительно у_i+1, а вовсе не о том, что с такой точностью найдено значение у(х_i+1).

Чтобы получить следующую модификацию метода Эйлера,
проинтегрируем уравнение (1) по отрезку Имеем

откуда следует равенство

(18)

Применяя к последнему интегралу одноточечную квадратурную формулу средних прямоугольников и заменяя значения y(x_i-1) и y(x_i) известными приближенными значениями у_i-1 и у_i соответственно, из (18) выводим формулу для подсчета приближенного значения y(x_i+1)

(19)

которую будем называть уточненный методом Эйлера.

Как известно, квадратурная формула прямоугольников (средней точки) имеет тот же порядок точности, что и квадра­турная формула трапеций, так что уточненный метод Эйлера (19) тоже является методом второго порядка. Подтвержде­нием этого факта может служить вывод метода (19) на разно­стной основе. Применив к равенству (11) формулу симмет­ричной аппроксимации y'(x_i) второго порядка точности, получим

откуда после приближенной замены следует(19).

Обратим внимание на одно принципиальное отличие мето­да (19) от всех других рассмотренных до этого момента мето­дов: метод (19) является двухшаговым. Здесь для вычисления значения у_i+1 привлекаются два предыдущих значения у_i и у_i-1. Двухшаговость накладывает определенные ограничения, по крайней мере, на начало численного процесса: значение не может быть найдено непосредственно этим мето­дом с тем же шагом h. Поэтому недостающую вторую началь­ную для процесса (19) точку приходится получать другим пу­тем, например, явным методом Эйлера, а чтобы не сделать сразу большой ошибки, применяя на старте метод более низкого порядка точности, рекомендуется осуществлять постепенное вхож­дение в процесс (19). Так, «разгон» можно выполнить по фор­мулам

(20)

а далее уже переключаться на счет по формуле (19).

Пример 1. Рассмотрим простое линейное уравнение с начальным условием y(0)=1.

На этой задаче легко проследить за вы­числениями, реализующими различные выведенные выше методы. Знание ее точного решения позволяет провести сравне­ние результатов приближенных вычислений по разным формулам с ис­тинным решением и проверить, насколько соответствуют представления о точности тех или иных методов тому, что наблюдается в данном, навер­ное, далеко не самом типичном частном случае.

Сначала сделаем несколько последовательных приближений по ме­тоду Пикара. Его итерационная формула (5) для данной начальной за­дачи имеет вид

Подставляя сюда у₀ =1 при п = 0,1, 2 последовательно получаем:

Эти результаты удобно сравнить с точным решением, если в последнем разложить в ряд по степеням х фигурирующую там функцию e^-3x. Тогда получим представление решения в виде ряда

с которым, как видим, хорошо согласуются приближения y₁, y₂, y₃, определяемые методом Пикара.

Теперь проведем подсчет приближенных значений решения у(х) данной задачи в точке х=0.2 численным методом Эйлера и его модифи­кациями, принимая h = 0.1 (т.е. за два шага). Результаты этих вычислении и фактические ошибки, найденные сравнением с точным значением y(0.2) = 0.581881..., отражены в следующей таблице.

Метод
Эйлера (8)	0.7	0.51	≈0.07
Неявный Эйлера (14)	≈0.7846	≈0.6343	≈-0.05
Трапеций (15)	≈0.7478	≈0.5788	≈0.003
Хойна(16)	0.755	≈0.5895	≈-0.008
Уточненный Эйлера (19)-(20)	0.755	0.587	≈-0.005

Исправленный метод Эйлера

Пусть найдено приближенное значение решения у = у(х) задачи (1)-(2) и требуется вычислить где Запишем разложение решения по формуле Тейлора р-го порядка, принимая за базовую точку x_i (т.е. по степеням х-х_i) и положим в этом разложении x= x_i+1. Имеем

(21)

Если ограничится двумя слагаемыми в правой части разложения (21), то, получим обычный ме­тод Эйлера (8). Посмотрим, что дает учитывание третьего сла­гаемого.

При р = 2 из (21) следует равенство

(22)

Значение первой производной в точке x_i в силу связи (1), приближенно известно:

(23)

Дифференцируя (1), по формуле полной производной

находим приближенное значение второй производной:

(24)

Подставляя приближенные выражения ) в равенство (22), получаем следующую формулу для вычисления при i=0, 1, …, n:

(25)

Определяемый ею метод будем называть исправленным мето­дом Эйлера.

Так как при i=0 формулы (23) и (24) точны, а y₀=y(x₀),согласно начальному условию (2), то на первом шаге вычислений по формуле (25) будет совершаться ошибка, связанная только с усечением ряда Тейлора. Следовательно, ло­кальная ошибка или, иначе, шаговая погрешность метода (25) составляет величину o(h³), а это означает, что исправ­ленный метод Эйлера относится к методам второго порядка.