Средний арифметический и средний гармонический индексы
Приведенные выше формулы расчета индексов называются агрегатными. Расчет индексов по агрегатным формулам возможен, если есть полные данные о физическом объеме продукции и о ценах как на уровне отчетного так и базисного периодов. В реальной действительности полные данные имеются не всегда. В таких случаях приходится исчислять индексы как среднюю взвешенную величину из индивидуальных индексов.
Вопрос о выборе формы средней и системы весов при расчете индекса как среднего из индивидуальных решается на основе общего правила: агрегатный индекс – основная форма всякого индекса. Следствие этого правила – средний из индивидуальных индексов будет тогда правильным, когда он тождественен агрегатному индексу. Это означает, что средние из индивидуальных индексов не самостоятельные индексы, а преобразованная форма агрегатного индекса. При исчислении средних индексов могут быть использованы только две формы средних: средняя арифметическая и средняя гармоническая.
Пример 2
Имеются следующие данные о продаже товаров:
| Товарные группы | Продано товаров в базисном периоде, млн. руб. | Индексы количества проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным |
 |  | |
| Обувь | 0,95 | |
| Посуда | 1,10 | |
| Ковры | 1,20 |
Требуется определить общий индекс физического объема товарооборота.
Агрегатная формула индекса физического объема товарооборота:
.
В нашем примере есть сведении о 
. Кроме того, мы имеем индивидуальные индексы количества проданных товаров по каждой товарной группе. Как известно 
.
Из данной формулы выразим 
: 
и подставим это значение в числитель агрегатной формулы индекса. Тогда будем иметь:
,
где 
- индивидуальный индекс физического объема товарооборота;
- товарооборот базисного периода.
В данном случае используем средний арифметический индекс.
Таким образом, количество проданных товаров увеличилось в отчетном периоде по сравнению с базисным на 7,5%.
Пример 3.
Имеются следующие данные о реализации товаров:
| Товарные группы | Товарооборот отчетного периода, млн.руб. | Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, % |
| Одежда | +10 | |
| Ткани | -5 | |
| Обувь | -15 |
Вычислить индивидуальные и общий индексы цен.
Индивидуальные индексы:
| На одежду |  |
| На ткани |  |
| На обувь |  |
Агрегатная формула общего индекса цен:
Объем товарооборота 
по каждой товарной группе имеем по условию задачи.
Из формулы индивидуального индекса цен 
выражаем 
: 
и это значение подставляем в агрегатную формулу 
.
Тогда
.
Это формула среднего гармонического индекса.
, т.е. в среднем цены снизились на 5,4%.
4. Индексный анализ динамики средних уровней качественных показателей.
Средние уровни многих экономических явлений исчисляются на основе групповых средних. Например средняя себестоимость изделия А по двум предприятиям определяется исходя из средней себестоимости изделия А на каждом предприятии взвешенной по количеству изделий, произведенных на данном предприятии, т.е.
Индекс динамики средней себестоимости изделия А имеет следующую формулу:
: 
.
На величину этого индекса оказывают влияние два фактора – изменение себестоимости на каждом предприятии и изменение объема продукции (удельного веса, структуры) отдельных предприятий. Поскольку в данном индексе используются веса разных периодов, то этот индекс называют индексом переменного состава. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя по всей совокупности:
Для выявления влияния на изменение средней себестоимости изменения самой себестоимости рассчитывают индекс постоянного состава. который характеризует изменение величины качественного показателя в среднем по отдельным объектам совокупности: Чтобы исключить влияние структурных сдвигов на изменение средней себестоимости, среднюю себестоимость в базисном периоде корректируют на структуру фактического выпуска продукции. В общем виде формула индекса себестоимости фиксированного состава записывается так:
Для выявления влияния на изменение средней величины изменения структуры продукции исчисляют индекс влияния структурных сдвигов.
.
При этом взаимосвязь между индексами выражается следующей формулой:
.
Расчет индексов постоянного, переменного состава и влияния структурных сдвигов покажем на следующем примере.
Пример 4
Имеются следующие данные о деятельности трех строительных организаций:
| Строительная организация | Средняя заработная плата строительно-монтажных рабочих, ден. ед. | Среднегодовая численность строителей-монтажников, чел. | ||
| базисный период | отчетный период | базисный период | отчетный период | |
 |  |  |  | |
| «Строй-Сервис» | 1 000 | 1 200 | ||
| «Госстрой» | 1 500 | |||
| «Строймонтаж» | ||||
| ИТОГО | × | × | 2 350 | 3 020 |
Рассчитайте индексы заработной платы переменного и постоянного составов, а также индекс влияния структурных сдвигов.
Объясните результаты расчетов.
Решение:
1. Индекс переменного состава характеризует изменение средней величины качественного показателя – заработной платы – по всей совокупности и рассчитывается по формуле:
.
Средняя заработная плата по всем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5,4%. На величину этого индекса оказали влияние два фактора: изменение самой заработной платы и изменение в структуре рабочих.
2. Индекс постоянного состава изучает изменение качественного показателя за счет динамики самого показателя, исключая влияние структурных сдвигов: как видно, в формуле данного индекса коэффициенты при весах q неизменны (фиксируются на уровне отчетного периода):
.
Рассчитаем индекс заработной платы постоянного состава:
Таким образом, средняя заработная плата по всем строительным организациям повысилась на 5,2% за счет изменения самой заработной платы.
3. Индекс влияния структурных сдвигов характеризует изменение средней величины качественного показателя за счет изменения структуры совокупности и не учитывает влияние динамики самой качественной величины (размер заработной платы фиксируется на уровне базисного периода):
.
Рассчитаем, чему равен данный индекс в нашем случае:
.
Таким образом, изменение структуры среднегодовой численности строительно-монтажных рабочих повлекло увеличение средней заработной платы на 0,2%.
Между индексами переменного и постоянного состава и индексом влияния структурных сдвигов существует взаимосвязь: произведение индекса постоянного состава и индекса влияния структурных сдвигов дает индекс переменного состава.
.
С помощью взаимосвязи экономических индексов проверим правильность произведенных ранее расчетов:
Ответ: средняя заработная плата по трем строительным организациям в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 5,4%. Данное увеличение на 5,2% было вызвано динамикой самой заработной платы по всем строительным организациям и на 0,2% – изменением структры численности строительно-монтажных рабочих данных организаций.