Интегралдаудың негізгі әдістері. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау. Бөліктеп интегралдау әдісі

Берілген интегралды интегралдау әдістері интеграл астындағы функцияның берілуіне және интегралдар кестесінің қорына байланысты бірнеше түрге бөлінеді: 1) тікелей интегралдау;

2) айнымалыны ауыстыру арқылы интегралдау; 3) бөліктеп интегралдау. Осы тәсілдердің әрқайсысына жеке-жеке тоқталайық.

1. Тікелей интегралдау. Көптеген функцияларды анықталмаған интегралдың қасиеттері мен интегралдар кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады. Тікелей интегралдау тәсіліне бірнеше мысалдар келтірейік.

Мысал – 1. интегралын есептеу керек.

Шешу. болған жағдайда 3 формуланы қолданамыз:

.

Мысал-2. интегралын табу керек.

Шешу. . Тұрақты 3-ті интеграл белгісінің алдына шығарып, сонан кейін 3 формуланы болған жағдай үшін қолдансақ, мынау шығады:

.

2. Айнымалыны ауыстыру әдісімен интегралдау.

Көп жағдайларда интегралдағы х айнымалысының орнына басқа айнымалысын енгізіп, берілген интегралын тікелей интегралданатын жаңа интегралдарға немесе кестелік интегралдардың біріне оңай келтіруге болады.

Теорема. Анықталмаған интегралындағы х айнымалысының орнына формуласы бойынша жаңа айнымалысын енгізейік (мұндағы аргументінің бірсарынды, үзіліссіз және дифференциалданатын функциясы). Сонда берілген анықталмаған интеграл үшін

(2)

теңдігі орындалады. Осы интеграл ауыстыруымен табылған соң, қайтіп х айнымалысына оралу қажет.

Дәлелдемесі. (1) теңдікті дәлелдеу үшін оның екі жағын да дифференциалдаймыз. Сонда оның сол жағының дифференциалы , ал енді теореманың шартын ескерсек, онда оң жағының дифференциалы

болады, яғни (1) теңдіктің екі жағының да дифференциалдары өзара тең.

Бұл формуланы қолданғаннан кейін -дан х-ке қайта көшу үшін мәнін қою керек.

Айнымалыны алмастыру формуласын қолданып, анықталмаған интегралды екінші жеңілірек есептелетін интегралға келтіруді айнымалыны алмастыру әдісі дейді. Мұндағы функциясын таңдап алудың ешқандай жалпы ережесі жоқ. Мәселенің қиындығы да осында. Бірақ интегралданатын функциялардың (анықталмаған интегралы бар болатын функциялар) кейбір кластары үшін мұндай таңдауды қалай жасау керек екеніне практикада жаттығуға болады.

Ауыстырма әдісінің қолданылуына бірнеше мысал қарастырайық.

Мысал-1. интегралын есептеу керек.

Шешу. деп белгілесек, болады. Сонда болады. Енді әуелгі айнымалы х-ке қайтадан оралсақ, болып шығады.

Мысал-2. интегралын табу керек.

Шешу. Түбірден құтылу үшін деп белгілеп теңдіктің екі жағын да квадраттаймыз: . Демек,

болады.

Енді айнымалы х-ке қайта оралсақ,

болып шығады.

Мысал-3. интегралын табу керек.

Айнымалы х-ті былай ауыстырайық:

,

бұл арадан . Енді

қайтадан бұрынғы айнымалы х-ке көшсек, онда

. (3)

Осы шыққан формуланы да таблицалық интегралдарға қосуға болады.

2. Енді бөліктеп интегралдау әдісін қарайық.

Дифференциалдары үздіксіз және функциялары берілсін. Осы екі функция көбейтіндісінің дифференциалы

болады. Бұдан . Осы теңдіктің екі жағынан интеграл алсақ .

Егер еркін тұрақты С-ны интегралына енгізсек, онда

(4)

теңдігі шығады. Бұл теңдікті бөліктеп интегралдау формуласы дейді. Формуланы қолдану үшін берілген интегралдың астындағы шамасын және деген екі көбейткішке жіктеу керек. Сонда формула интегралын алуды интегралын алуға келтіреді. Сондықтан бұл формула интегралынан интегралын есептеп шығару жеңіл болғанда ғана қолданылады. Берілген интеграл астындағы шаманы екі көбейткішке жіктеудің жалпы ережесі жоқ. Оған тек ойлампаздық пен бай тәжірибенің арқасында жетуге болады.

Тек қана интеграл астындағы шаманы екі көбейткішке жіктегенде -ның құрамында бар болуы шарт. Қандай жағдай болса да, интеграл астындағы өрнекті көбейткіштерге жіктеуде көбейткіш -ды дифференциалдау, көбейткіш -ны интегралдау нәтижесінде (2) формуланың оң жағындағы интегралдың интегралдануы жеңілденетіндей болуы ескерілуі қажет. Интегралды осы формуламен есептеп шығаруды бөлектеп интегралдау әдісі дейді.

Көп жағдайларда бөліктеп интегралдау әдісі бойынша және көбейткіштерін таңдап аларда төмендегі практикалық мәні бар интегралдарды ескерген жөн:

1) егер болса, онда функциясын , ал қалған өрнектерін деп алу керек;

2) егер болса, онда функцияларын , ал өрнегін десек, берілген интегралдар оңай интегралданады.

3) интегралдары үшін бөліктеп интегралдау әдісі екі рет қолданылады.

Енді осы әдістің қолдануына мысалдар келтірейік.

Мысал-6. интегралын есептеп шығару керек.

Шешу. Бұл мысалда интеграл астындағы өрнектің көбейткіштерге қалай жіктелетіні айқын (жіктелу даяр түрде берілген), яғни былай жіктелінеді. -ді дифференциалдау, -интегралдау нәтижесінде мынаны аламыз.

Жазуды күрделендірмес үшін аралық интегралдаудағы өрнегіндегі тұрақтыны деп есептейміз. Сонда бөліктеп интегралдау формуласына сәйкес:

болып шығады.

Мысал-7. интегралын есептеп шығару керек.

Шешу. Алдымен мына интегралды қарайық.

.

Таблицалық интегралды пайдаланамыз. Сонда

. (5)

Осы (5) теңдіктің оң жағында тұрған интегралды жеке алып бөлімшелеп интегралдаймыз:

;

;

;

((3) формулаға сүйенеміз).

Енді (4) формуланы қолданып, мынаны табамыз:

.

Бұдан кейін (5) теңдік мына түрге көшеді:

немесе

,

бұл арадан

.