Запаздывающая функция Грина уравнения Даламбера

Запишем уравнение Даламбера:

ð

где , а - источники.

Под понимаем

Под понимаем ,

Т.к. любое поле раскладывается по плоским монохроматическим волнам, то мы будем решение уравнения Даламбера искать в виде:

Значит , где - волновое число.

Тогда:

ð

Т.е. оператор Даламбера переходит в оператор Гельмгольца. Тогда:

(**)

Если источник , тогда решение имеет вид ..

В общем случае можно записать разложение через интеграл Фурье:

Решение (**) можно записать через функцию Грина:

Здесь первое слагаемое – частное решение неоднородного уравнения(представляет большой интерес, т.к. здесь стоят источники поля ). Второе слагаемое – общее решение однородного уравнения.

Функция Грина , тогда:

ð

Мы будем рассматривать случай неограниченного пространства, где:

Временно введём обозначение: , тогда . Функцию Грина можно разложить в интеграл Фурье:

;

Тогда - есть функция Грина уравнения Гельмгольца. Т.е. получается, что фурье-образ функции Грина уравнения Даламбера есть функция Грина уравнения Гельмгольца.

Теперь получим полное выражение для функции Грина уравнения Даламбера:

- это разложение в интеграл Фурье -функции, где

Мы получили разложение функции Грина для уравнения Даламбера. Это запаздывающая функция Грина.

Запаздывающая функция Грина удовлетворяет принципу причинности.

Делаем обратную замену, т.е. и , :

, где

В силу свойства -функции при , тогда решение приобретает физический смысл при .

- точка источника.

- точка наблюдателя.

За какое время дойдёт сигнал из в , если сигнал распространяется со скоростью :

Чтобы информация от источника попала вовремя к наблюдателю нужно, чтобы

В этом и есть физический смысл , для которого удовлетворяется принцип причинности.