Теорема Пойнтинга

В электродинамике, как правило, принято характеризовать интенсивность процесса излучения, обусловливая особую векторную величину в каждой точке пространства, имеющую название вектора Пойнтинга П.

Смысл вектора Пойнтинга в физике заключается в том, что его направление и модуль характеризуют размер и направленность в каждой точке пространства потока энергии излучения. Вектор Пойнтинга в системе единиц СИ имеет размерность Вт/м2
При этом спад энергии, заключенного внутри воображаемого объема V с поверхностью S электромагнитного поля, определенный излучением и отнесенный к единице времени, равна

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Интеграл равен величине мгновенной мощности излучения, проистекающего по направлению из объема в окружающее пространство. Если же знак представленного интеграла отрицателен, то это объясняется тем, что поток энергии излучения устремлён не из объема V, а внутрь него.

Теорема Пойнтинга - student2.ru
В самом деле, по теореме Остроградского – Гаусса для рассматриваемой замкнутой поверхности S будем иметь

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Здесь было использовано тождество векторного анализа

Теорема Пойнтинга - student2.ru
С учётом уравнений Максвелла

 
  Теорема Пойнтинга - student2.ru

приобретает следующий вид

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Интеграл вида

Теорема Пойнтинга - student2.ru
может быть именуем мгновенной мощностью потерь, будучи внутри объема V за счёт протекания токов проводимости. Иное слагаемое

Теорема Пойнтинга - student2.ru
обуславливает мгновенную мощность, которая может либо отводиться из рассматриваемого объема сторонними токами, либо вноситься в него в зависимости от взаимной ориентации векторов JCTи Е. Так как

Теорема Пойнтинга - student2.ru
то крайний интеграл обретёт вид

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Тут мы приходим на основании вышеизложенного к интегральному соотношению вида

Теорема Пойнтинга - student2.ru
приходящемуся математическим выражением теоремы Пойнтинга. Данная теорема определяет внутри произвольной области, в которой есть электромагнитное поле, факт баланса энергий. Вектор Пойнтинга для значимого в практическом отношении частного случая, в котором поле по гармоническому закону изменяется во времени, может быть выявлен через комплексные амплитуды полей Е и Н, поскольку

 
  Теорема Пойнтинга - student2.ru

где* - комплексно-сопряжённые величины, подставив их в формулу П=[E*H] получим

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Слагаемое первое, в части формулы справа, во времени неизменно, в отличие от второго слагаемого, которое изменяется во времени с удвоенной частотой.

Тем самым в электромагнитном поле, изменяющемся во времени по гармоническому закону, ход переноса энергии характеризуется, с одной стороны вещественным вектором, равным средней за период плотности мощности излучении,

Теорема Пойнтинга - student2.ru
и вещественным вектором, который указывает на присутствие колеблющейся составляющей вектора Пойнтинга

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Необходимо не упускать из виду то, что среднее за период значение вектора Пкол равно нулю.

На основе уравнений Максвелла теоретическое рассмотрение и физический опыт позволяют утверждать, что термин «излучение» в узком смысле слова применим лишь к переменным во времени процессам в силу волнового характера распространения электромагнитного поля.

Теорема Пойнтинга - student2.ru Поля Е и Н тут не параллельны друг другу, это позволит ввести отличный от нуля вектор Пойнтинга П=[ЕН] в каждой точке пространства. От того, что рассматриваемые поля статические и токи проводимости не протекают в системе, в соответствии с уравнениями Максвелла

rotH=0 rotE=0 => divП=0

Тем самым в предоставленной физической задаче векторное поле П не обладает источниками; его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, это говорит о постоянстве полной энергии электромагнитного поля во времени, внутри произвольной замкнутой поверхности.

Иногда вводится комплексный вектор Пойнтинга

 
  Теорема Пойнтинга - student2.ru

при анализе гармонически изменяющихся во времени электромагнитных волновых полей обладающий тем свойством, что

Теорема Пойнтинга - student2.ru

Плоские эл/м волны.

Проанализируем бескрайнее трехмерное пространство с декартовой системой координат х, у, z. У которого в каждой точке задана некоторая величина А (её физическая природа безразлична), меняющаяся в пространстве и во времени по закону

Теорема Пойнтинга - student2.ru

В пространстве (в предоставленном моменте) имеется монохроматическая плоская волна. Называемый фазой волны ωt-+βz – аргумент косинуса является пространственной координаты z и функцией времени t. Если же z зафиксировать, то величина А приобретает такие же значения через небольшие промежутки времени, кратные периоду T=2π/ω. Если зафиксировано время, то величина А периодически изменяется вдоль оси z с периодом λ именуемым длиной волны. Величины βи λ связаны между собой:

β=2π/λ

Число β служит значимой характеристикой волнового процесса и называется постоянной распространения волны. Также могут использоваться термины как волновое число и фазовая постоянная. Весь смысл величины β с физической стороны в том, что она указывает, на сколько радиан фаза волны изменяется в прохождении одного метра пути. Нахождение двух потенциальных знаков в формуле

Теорема Пойнтинга - student2.ru
согласованно с тем, что плоские волны вполне могут исходить в двух противоположных направлениях.

Именуем поверхность, волновым фронтом плоской волны, удовлетворяющую уравнению

ωt-+βz =const

Вполне понятно, что в данном случае волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перемещающиеся в пространстве со скоростью

Теорема Пойнтинга - student2.ru
носящей название фазовой скорости и перпендикулярные оси z. От того, что время изменяется постоянно лишь в одном направлении, уравнение

ωt-βz =const

отвечает фронту волны, источающейся в направлении положительной оси z. К изменению направления её распространения ведет изменение знака в фазе волны. Подключим комплексные амплитуды плоских волн.

Теорема Пойнтинга - student2.ru
определённо для волны, подходящей в противоположную сторону

Теорема Пойнтинга - student2.ru
В любой реальной среде распространение волн неминуемо за счёт тепловых потерь сопровождается понижением их амплитуды. Закон затухания:

Теорема Пойнтинга - student2.ru
Тут α несёт название постоянной затухания волны. Введя комплексную постоянную распространения γ можно объединить величины βи α, то есть

γ=β -iα

Таким образом, вещественная часть γ находит закон изменения фазы в распространяющейся волне, в тот момент как мнимая часть характеризует затухание.

Наши рекомендации