Сложение гармонических колебаний одного направления. Биения

Результирующее движение точки, одновременно участвующей в нескольких колебаниях, во многих случаях является колебательным. Таким образом, можно говорить о сложении нескольких колебаний в одно результирующее.

Сложение гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами и различными фазами осущест- вляется с помощью вектора амплитуды, позволяющего свести сложение колебаний к сложению, векторов. Вектор амплитуды представляет собой вектор, величина которого равна амплитуде гармонического колебания, а угол между его направлением и осью X определяется начальной фазой (рис.4.5). Если привести вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w, то его проекция на ось X будет изменяться со временем по гармоническому закону. Следовательно, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора амплитуды.

ω0

А1

Рис.4.5 Рис.4.6

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, описываемых уравнениями:

, (4.20)

. (4.21)

Представим эти колебания с помощью векторов амплитуды A₁ и A₂ и построим вектор A, представляющий результирующие колебания (рис.4.6 ).

Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω₀

, (4.22)

амплитуда которого и его начальная фаза определяются из векторной диаграммы:

, (4.23)

. (4.24)

Рассмотрим теперь два гармонических колебания, которые происходят в одном направлении, с близкими частотами ω и ω+Δω (Δω<<ω). Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы А₁=А₂= А, а начальные фазы колебаний α₁= α₂= 0.

(4.25)

Результирующее колебание x = x₁+ x₂, т.е.

x = А cosωt + А cos(ω+Δω)t =

= (4.26)

Учитывая что Δω<< ω, получим

. (4.27)

Так как изменяется значительно медленней, чем cosωt, результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда которого медленно

изменяется также по гармоническому закону с частотой . Такие колебания называются биениями(рис.4.7).

Х

t

Рис.4.7

Уравнение биений имеет вид

(4.28)

Амплитуда колебаний равна , частота пульса- ций амплитуды (биений), равна разности частот складываемых колебаний (см. рис.4.7), а период биений .

4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний. Фигуры Лиссажу

Пусть колебания одинаковой частоты совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей X и Y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения колебаний таким образом

, (4.29)

, (4.30)

где - разность фаз складываемых колебаний.

Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего колебания.

. (4.31)

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно координатных осей X и Y.

Рассмотрим частные случаи:

1) При = 0 уравнение (4.31) принимает вид

. (4.32)

Колеблющаяся точка переме- щается по прямой, причём расстоя- ние от начала координат изменяется по закону.

В -А А х -В

y

. (4.33)

В -А +А х -В

y

Таким образом, результирующее колебание является гармоническим.

2) При результирую- щее колебание так же является гармоническим и совершается вдоль прямой, описываемой уравнением

. (4.34)

y B

-π/2 х +π/2

-A A   -B

3) При уравне- ние (4.31) становится уравне- нием эллипса, приведённого к координатным осям

. (4.35)

Направление обхода элипса определяется знаком перед π/2. При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность.

При сложении взаимноперпендикулярных гармони- ческих колебаний с кратными частотами, траектории движения точки имеют вид сложных кривых – фигур Лиссажу, вид которых зависит от соотношения частот, и разности фаз складываемых колебаний.

Например, при сложения двух колебаний с частотами ω и 2ω и разностью фаз Δφ₁=0 и Δφ₂ = π/2, соответствующие фигуры Лиссажу показаны на рис.4.8 и рис.4.9.

y В

х -А +А -В

y В

х -А +А -В

Рис.4.8

Рис.4.9

.

По виду фигуры Лиссажу можно определить соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний.