Вращение тела вокруг неподвижной точки

Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.

Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.

1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.

Рис. 9.5.

Рис. 9.5.

Положение тела определяется тремя углами. Используются различ­ные системы углов. Например, кора­бельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными яв­ляются углы Эйлера: (пси), (тета), (фи).

Положение тела опре­деляется следующим образом. На­значаются две системы декартовых осей. Первая система – неподвижные оси . На­чало которых берётся в неподвижной точке тела (рис. 20). Вторая сис­тема, оси , связывается с телом. Поэтому положение тела будет опреде­ляться как положение этих осей относи­тельно неподвиж­ных.

Рис.20

Рис. 9.4.

Рис. 9.5.

Когда углы Эйлера равны нулю, под­вижные оси совпадают с непод­вижными. Чтобы опреде­лить положение тела, соот­ветст­вующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачи­ваем на угол вокруг оси . При этом оси и отойдут от осей и в гори­зон­тальной плоскости и ось займёт по­ложение (рис.20). Затем тело вращаем вокруг но­вого поло­жения оси (прямой ) на угол . Ось отойдёт от оси на этот угол , а ось приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси на угол . Ось отойдёт от положения в на­клонной плоскости, перпендикуляр­ной оси . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не пока­зано).

Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной , прямая , называ­ется линией узлов. Угол называется углом прецессии, угол – углом нутации, угол – углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.

При движении тела углы Эйлера изменя­ются по определённым законам которые называются уравнениями вра­щения.

На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали – угол нутации .

А вращение волчка вокруг своей оси , определяемое углом – собственное вращение.

Рис.21

2) Теорема Даламбера – Эйлера. Мгновенная ось вращения.

Проведём в теле сферическую поверх­ность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке (рис.22).

Рис.22

По­кажем у тела какие-нибудь две точки и , расположенные на этой сфере. Со­единим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое по­ло­жение. Точки, а значит и дуга, займут по­ложение и . Соединим точки и и дугами большого радиуса и . Посередине этих дуг прове­дём им перпендикулярные дуги и най­дём их точку пересечения . Соединим эту точку с точками . Получим два сфе­рических треугольника и , расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами ( , а и – как дуги равноудалённые от пер­пендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину , то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой .

Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через не­подвижную точку .Это утверждение – есть теорема Даламбера-Эйлера.

Рис. 9.7.

Конечно, такое перемещение не яв­ля­ется истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положе­ния в другое каким-то другим, наверное бо­лее сложным путём. Но, если время такого пере­хода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачива­ется вокруг некоторой оси Р, проходя­щей через неподвижную точку , вращаясь вокруг неё с угловой скоро­стью . Конечно, для каждого дру­гого момента времени эта ось рас­поло­жена иначе. Поэтому ось называют мгновенной осью вращения,а угло­вую скорость – мгновенной угловой скоростью, вектор которой на­прав­лен по оси.

Рис. 9.8.

3) Скорость точек тела.

По теореме Даламбера-Эйлера за малое время движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси с некоторой угловой скоростью (рис.23).

Рис.23

Тогда скорость точки : В пределе, при , угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения , а скорость точки - к истинному значению:

.

Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае – по мгновенной оси вращения . Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси . Величина скорости (рис.23).

Рис. 9.9.

Определение скоростей то­чек тела значительно упроща­ется, если извест­на мгновенная ось вращения . Иногда её можно найти, если уда­стся обна­ружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме , скорость кото­рой в данный момент равна нулю, и провести ось из не­подвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения – геометрическое ме­сто точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.

Пример 6. Водило , вращаясь вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , застав­ляет диск радиуса кататься по горизон­тальной плоскости (рис.24).

Рис.24

Рис. 9.10.

Если представить диск как ос­нование конуса с вершиной в не­подвиж­ной точке , то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки .

Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.

Точка вместе с водилом вращается вокруг оси . Поэтому её ско­рость (рис.24). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси и направление вектора . Величина угловой ско­рости (h – рас­стояние от до оси ). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси . Так, например, скорость точки : . Так как и , то и

4) Ускорение точек тела.

Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка распо­ложен­ная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.25).

Рис.25

Если рас­сматривать вектор как ра­диус-вектор этой точки, то .

Итак. Угловое ускорение тела можно опреде­лить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:

.

Этот результат называется теоремой Резаля.

Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки тела

,

есть сумма двух векторов.

Первый вектор . Модуль его , где h₁ – расстояние от точки до вектора . Направлен он перпендику­лярно и . Но таким же способом определяет­ся касательное ускорение. Поэтому первую состав­ляющую ускорения определяют как ка­сательное ускорение, предпола­гая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с векто­ром . И обо­значается этот вектор ускорения так

Второй вектор Модуль его , но , т.к. векторы и перпендикулярны друг другу.

Рис.26

Значит , где h₂ – расстояние от точки М до мгновенной оси , до вектора .

Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси , или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:

Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:

Этот результат называется теоремой Ривальса.

Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и не равен , векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.

Пример 7. Продолжим исследование движения диска (пример 6). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью , которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса с угловой скоро­стью . Поэтому угловое ускорение диска .

Откладывается вектор из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу , параллельно оси х (рис. 27).

Рис.27

Найдём ускорение точки В.

Ускорение Направлен вектор перпендикулярно и расположен в плоскости .

Ускорение Вектор направлен по , перпендикулярно мгновенной оси . Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси :

Значит

Вопросы для самопроверки

- Что определяет число степеней свободы твердого тела?

- Почему при поступательном движении тела скорости и ускорения его точек не могут быть различными?

- Сколько степеней свободы имеет тело с двумя закрепленными точками?

- Приведите определения угловой скорости и углового ускорения тела.

- Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

- Как вычислить скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Объясните куда направлен вектор скорости?

- Запишите формулы для нормального и тангенциального ускорений точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

- Перечислите основные виды движений твердого тела.

- Какое движение твердого тела называется поступательным и какими свойствами оно обладает?

- Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?

- По каким формулам определяются модули угловой скорости и углового ускорения вращающегося твердого тела?

- Как направлены векторы угловой скорости и углового ускорения при вращении тела вокруг неподвижной оси?

- Выведите формулы модулей скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

- При каких условиях ускорение точки вращающегося тела составляет с отрезком, соединяющим точку с центром описываемой ею окружности, углы 0⁰, 45⁰, 90⁰?

- Ускорения каких точек вращающегося тела:

а) равны по модулю;

б) совпадают по направлению;

в) равны по модулю и совпадают по направлению?

- Каковы векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений?

- Выведите формулы Эйлера для проекций вращательно скорости точки на координатные оси.

- Что представляет собой передаточное число передачи и как определяется передаточное число сложной передачи?

- На какие составляющие движения можно разложить движение свободного тела в общем случае и как они зависят от выбора полюса?

- Как определяют скорости точек свободного твердого тела?

- Как связаны между собой скорости точек свободного тела, расположенных на отрезке произвольного направления, и на отрезке, параллельном мгновенной оси?

- Покажите, что векторы угловой скорости и углового ускорения свободного тела не зависят от выбора полюса.

- Как определяют ускорения точек свободного твердого тела?

- Чему равно число степеней свободы тела с одной закрепленной точкой?

- Приведите названия углов Эйлера.

- Запишите уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

- Сформулируйте теорему Эйлера-Даламбера.

- Что определяют кинематические уравнения Эйлера?

- Приведите векторную запись формулы для определения линейной скорости точки при вращении твердого тела с одной неподвижной точкой.

- Как определить величину и направление вращательного ускорения точки твердого тела с одной закрепленной точкой?

- Как направлен вектор осестремительного ускорения точки при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки?

- Какими параметрами определяется положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна?

- Как формулируется теорема Эйлера-Даламбера о перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку?

- Что называют мгновенной осью вращения твердого тела с одной неподвижной точкой и каковы уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах осей декартовых координат?

- Что представляют собой неподвижный и подвижный аксоиды мгновенных осей при сферическом движении и что происходит с аксоидами при действительном движении тела?

- Как определяются модуль и направление углового ускорения тела при сферическом движении?

- Почему направления векторов углового ускорения и угловой скорости тела при сферическом движении не совпадают?

- Как определяются скорости точек тела при сферическом движении?

- Какие модули и направления имеют составляющие ускорения точки тела при сферическом движении?

- Почему направления векторов вращательной скорости и вращательного ускорения при сферическом движении тела не совпадают?

- Определите угловую скорость вращения вала электродвигателя (в рад/с), если n=1400 об/мин.? Вычислите скорость и ускорение точки на поверхности вала; диаметр вала d=100 мм?

- Определите характер вращения твердого тела вокруг неподвижной оси в следующих случаях:

1) =5 рад/с²;

2) =0;

3) =150 рад/с;

4) =20t рад/с, где t – время?

- Какая составляющая ускорения любой точки твердого тела равна нулю при равномерном вращении твердого тела вокруг неподвижной оси?

1) нормальное ускорение;

2) касательное ускорение;

3) полное ускорение.