Метод равносильных переходов

Методы решения

логарифмических неравенств
(задания С3 ЕГЭ)

Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

Основой для написания данной статьи явился анализ заданий материалов МИОО, предлагавшихся в течение двух лет в качестве подготовки к итоговому экзамену, и результаты проверки авторами в качестве экспертов работ ЕГЭ 2010 и 2011 гг.

Надо отдать должное составителям заданий, поскольку при решении логарифмических неравенств в заданиях С3 в диагностических, тренировочных, репетиционных работах и в итоговых вариантах ЕГЭ 2010 и 2011 в основном было достаточно использования стандартных методов. К таковым методам можно отнести:

· метод равносильных переходов;

· решение неравенства на промежутках;

· метод замены;

· обобщенный метод интервалов;

Кроме того, в ряде репетиционных работ для решения неравенств использовались нестандартные методы:

· метод рационализации;

· метод оценки, в частности, использование классических неравенств.

Остановимся на перечисленных выше методах решения.

Метод равносильных переходов

При решении неравенств используют преобразования, при которых множество решений неравенства либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения). Поэтому важно знать, какие преобразования неравенства являются равносильными и при каких условиях.

Начнем с примеров, в которых используются логарифмы с постоянными основаниями.

неравенства вида

Пусть логарифмическое неравенство удалось свести к виду

,

тогда для дальнейшего решения применяется одна из схем.

Если число , то

(1)

Если число , то

(2)

При выводе этих схем решения неравенства используется свойство монотонности функции на множестве . При функция возрастающая, при – убывающая.

Замечание. При решении строгого неравенства в схемах (1) и (2) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 1. Решить неравенство

.

Решение.Так как функция строго возрастает на множестве , то данное неравенство можно заменить равносильной системой

Ответ: .

Рассмотрим неравенства, в которых присутствуют логарифмы с переменным основанием.

неравенства вида

Из предыдущего пункта следует, что неравенство указанного вида равносильно совокупности систем неравенств.

(3)

Замечание. При решении строгого неравенства в схеме (3) нестрогие неравенства заменяются строгими.

Пример 2.Решить неравенство

.

Решение. Запишем неравенство в виде

и заменим его равносильной совокупностью двух систем

Решим систему (I): Имеем

Отсюда получаем (см. рис. 1) решение (I):

.

Решим систему (II):

Имеем

.

Получаем, что система (II) решений не имеет.

Ответ: .

Пример 3. (МИОО,2009).Решить неравенство

.

Решение. Выполняя равносильные переходы, получим, что данное неравенство равносильно следующей системе неравенств

Необходимо рассмотреть только случай, когда основание больше единицы, поэтому полученная система равносильна следующей

На рис. 2 представлена графическая интерпретация получения решения последней системы неравенств.

Ответ: .

неравенства вида

В общем случае в неравенствах данного вида логарифмы приводят к одному числовому основанию , переходя к равносильному неравенству

.

Пример 4. (МИОО, январь 2010).Решить неравенство

.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству:

.

Используя замену , где , получим

.

Отсюда получаем или . Выполнив обратную замену, имеем .

Решая неравенство , получаем значения .

Неравенство имеет решения . Следовательно, решением исходного неравенства является множество .

Ответ. .

Пример 5.Решить неравенство

.

Решение. Используя тождество , выполняя равносильные преобразования, преобразуем исходное неравенство:

,

.

Используя замену , где , получаем неравенство

.

Отсюда имеем .

Выполняя обратную замену, имеем

.

Пусть . Тогда решая систему

получим с учетом , что значения .

Выполним обратную замену

Ответ. .

Приведем другой способ решения неравенств рассматриваемого вида.

Для этого исследуем функцию , где переменная и число . Так как

,

то при функция возрастает на каждом из промежутков и , при функция убывает на каждом из промежутков и .

Отметим, что при функция при и при , при функция при и при .

Из этих рассуждений следует, что строгое неравенство

равносильно совокупности двух систем:

(I)

(II)

Для нестрого неравенства в представленной выше совокупности неравенства и заменяются на нестрогие и совокупность содержит еще следующую систему

(III)

Пример 6.Решить неравенство

.

Решение.Данноенеравенство равносильно совокупности систем

(I) и (II)

Система (I) имеет решения . Система (II) не имеет решений.

Ответ: .

Использование формул

Наибольшее число ошибок при решении задания С3 в ЕГЭ 2010 и 2011 возникло в результате неправильного использования формул:

(4)

и

, (5)

где , и .

Заметим, что равенства (4) и (5) в общем случае не являются тождествами, поскольку области определения левой и правой частей равенства могут не совпадать. Так в левой части равенств (4) и (5) выражение будет определено при таких значениях , когда и и . Правая часть при таких значениях не имеет смысла.

Формулы (4) и (5) используются как для преобразования логарифма произведения (частного) в сумму (разность) логарифмов соответственно, так и в обратную сторону.

В общем случае переход слева направо может привести к потере решений. Если даны выражения или и есть желание преобразовать их в сумму или разность логарифмов, равносильный переход выглядит так

и

.

В общем случае переход справа налево может привести к приобретению посторонних решений. Однако эти посторонние решения могут быть исключены, как не входящие в область определения переменной исходного выражения.

Пример 7 (ЕГЭ-2011). Решить неравенство

.

Решение (предложенное в критериях).

1-й способ. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

Для таких получаем

.

Исходное неравенство примет вид

.

Так как , то при имеем:

.

Откуда значения .

Учитывая область определения исходного неравенства , получим в ответе множество .

Решение. 2-й способ. Область определения данного неравенства – есть множество . Для таких исходное неравенство приводится к виду:

.

Учитывая, что значения , получим ответ .

Ответ: .

Комментарий.Большинство выпускников использовало 2-й способ. При этом массово забывали о необходимости использования модулей.

Иногда в логарифмических неравенствах присутствуют логарифмы с разными основаниями. В этом случае часто для последующего решения привести их к одному основанию, используя формулу перехода к другому основанию:

, (6)

где .

Пример 8. (ЕГЭ 2010).Решить неравенство

.

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Отсюда получаем значения

.

Так как при допустимых значениях переменной по свойствам логарифма справедливы равенства:

и

,

то исходное неравенство приводится к виду

.

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем на множестве

:

(I) и (II)

Для системы неравенств (I) имеем:

.

Для системы неравенств (II) имеем:

.

С учетом области определения данного неравенства получаем ответ.

Ответ: .

Расщепление неравенств

Названный метод применяется для решения неравенств вида или , где символ означает один из знаков неравенств . Например,

(7)

Пример 9. Решить неравенство

Решение.Данноенеравенство равносильно совокупности систем (I) и (II):

(I)
(II)

Решим каждое неравенство системы (I). Для неравенства (1) имеем:

Для неравенства (2) имеем:

Значит все – решения системы (I).

Найдем решение системы (II). Для неравенства (3) имеем:

.

Для неравенства (4) имеем:

Значит все – решения системы (II).

Объединяя решения систем (I) и (II), получаем ответ.

Ответ:

Воспользуемся рассмотренным методом и для решения следующего неравенства.

Пример 10. (ЕГЭ 2011).Решить неравенство .

Решение. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

Отсюда находим значения

.

Для таких получаем, что исходное неравенство равносильно следующему

.

Последнее неравенство, а значит и исходное, равносильно совокупности двух систем.

(I) и (II)

Рассмотрим систему (I). По свойству возрастающей функции на промежутке получаем

Отсюда имеем значения .

Учитывая полученные выше ограничения, получаем решения системы (I): .

Рассмотрим систему (II). Аналогично предыдущему получаем

.

Объединяя найденные решения, получаем значения .

Ответ: .