Доказать теорему о пределе сложной функции

41) Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых функций. Привести примеры эквивалентных бесконечно малых функций: ln(1+x)-x при xà0; e^x -1+x при xà0; cos x -x²/2 при xà0; (1+x)^a -1+ax при xà0.

Бесконечно малые функции h(x) и g(x) при xàa называются величинами одного порядка малости, если существует lim _xàa h(x)/ g(x)=A…0.

Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xàa, если lim _xàa h(x)/ g(x)=0.

Бесконечно малая функция h(x) называется величиной более низкого порядка малости по сравнению с бесконечно малой g(x) при xàa, если lim _xàa h(x)/ g(x)= 4.

Бесконечно малые функции называются несравнимыми, если предел их отношения не существует.

Бесконечно малые функции называются эквивалентными при xàa, если предел их отношения равен 1.

Непрерывность функции в точке.

Дать определение непрерывности функции в точке. Доказать арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций.

Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, если lim_{xà х0} =f(x₀)

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то так же непрерывны в этой точке функции f(x)+ g(x), f(x)/ g(x) при g(x)…0, f(x) ^. g(x).

Если f(x) и g(x) – непрерывные функции, то функция f(g(x)), так же непрерывна.

Дать второе определение непрерывности функции в точке. Доказать эквивалентность этих определений.

Функция f(x) непрерывна в точке х₀, если приращение функции в этой точке является бесконечно малой величиной при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Дать классификацию точек разрыва (первого и второго рода).

Тип разрыва, когда в точке х₀ имеются (конечные) правый и левый переделы функции, называют разрывом первого рода. В противном случае говорят, что х₀ – разрыв второго рода.

Производная функции в точке.

45) Производная, её геометрический смысл. Вывести формулы касательной и нормали к графику функции в точке.

Производной данной функции в данной точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю.

Геометрический смысл производной в точке, это тангенс угла наклона касательной к этой точке.

Левая и правая производные функции в точке.

Бесконечная производная в точке.

Доказать арифметические теоремы о производных.

Вывести формулу для производной степенной и показательной функций. Вывести формулу для производной логарифмической функции. Вывести производные синуса, косинуса, тангенса, и котангенса. Вывести формулу для производной функции арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.