Частные случаи решения линейных уравнений

Ученики должны понять, что решение уравнения с параметрами при заданных конкретных условиях – это частные решения уравнений. Например, задание может звучать так: «При каких значениях параметра … уравнение …. Имеет единственное решение или не имеет корней, или имеет корень равный… и т.д.

Пример1. При каких целых значениях параметра а уравнение имеет целые корни.

Решение: Приведём уравнение к виду , если то . Чтобы х был целым числом, необходимо, чтобы значение выражения было делителем числа 5, то есть может быть равно 1; -1; 5; -5. Отсюда, а = 3; 1; 7;-3.

Ответ: при а = -3; 1; 3; 7 .

Пример 2. При каких значениях параметра n уравнение

а) имеет единственный корень;

б) имеет бесконечное множество корней;

в) не имеет корней.

Решение: 1. Выражения имеют смысл при любых значениях n/

2. Если , то . При значение выражения равно 0. Получаем уравнение вида . Оно имеет бесконечное множество корней, то есть х – любое число. При значение выражения равно – 12, получается уравнение , которое не имеет корней.

3. При и уравнение имеет единственный корень.

Ответ: а) При и .

б) При . в) При .

Пример 3. При каком значении параметра а уравнение не имеет корней .

Перепишем данное уравнение в виде Если а = 2, то уравнение не имеет корней. Ответ: а = 2

Пример 4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число 7 является единственным корнем уравнения.

Решение: Способ I: Если для некоторого значения параметра число 7 является корнем уравнения, то для этого значения а справедливо равенство , или равенство .

Равенство справедливо при а = 0 или при а =1.

Внимание! Мы ещё не получили ответа, так как нашли два значения параметра а, предполагая, что число 7 является корнем уравнения. Но этот корень должен быть единственным, поэтому ещё требуется проверить, является ли число 7 единственным корнем уравнения

при а = 0 или при а =1.

Если а = 0, то уравнение перепишем в виде х – 7 = 0.

При а = 0 число7 является единственным корнем уравнения.

Если же а =1, то уравнение перепишем в виде х - 7 = х – 7.

При а=1 любое действительное число является корнем данного уравнения. Следовательно, число 7 не является единственным корнем уравнения .

Способ II. Перепишем исходное уравнение в виде

При а =1 корнем уравнения является любое число, то есть число 7 не является единственным корнем уравнения. Поэтому в уравнении а ≠1.

Но тогда это уравнение имеет единственный корень . Условие задачи будет выполнено, если это единственный корень есть число 7: то есть при а = 0.

Ответ: а = 0.

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения и имеют общий корень.

Решение: Перепишем первое уравнение в виде . Это уравнение имеет корень лишь при . Этот корень есть число .

Перепишем второе уравнение в виде . Данное уравнение имеет корень лишь при ,. Этот корень есть число

Осталось найти все значения параметра . При каждом из которых первое и второе уравнение имеют общий корень, то есть х₁ и х₂ есть одно и то же число.

Для этого решим уравнение

Перенесём все слагаемые в одну часть уравнения и упростим разность алгебраических дробей, равносильное уравнение которое имеет единственный корень . При этом значении а условие задачи выполнено.

Ответ: при

Заключение.

Для реализации проекта мною были проанализированы методическая литература и учебные пособия, которые позволили выявить основные методы решения линейных уравнений с параметрами и адаптировать их к школьному курсу. Что помогло составить систему дидактических материалов, которые можно использовать для учащихся 8 классов в процессе усвоения той или иной темы или для параллельного повторения при подготовке к ГИА или ЕГЭ.

Литература

1. Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Пособие по математике. 3-е изд., доработ. - Минск: Асар, 2004.

2. Смыкалова Е.В. Математика. Модули, параметры, многочлены. Предпрофильная подготовка.-Сант-Петербург: СМИО Пресс,2006

3. В.В.Локоть. Задачи с параметрами . Учебное пособие.-Москва:Аркти,2003.