Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

Домашний типовой расчет

по теме:

«Элементы математической статистики»

Выполнила ст. гр. ГНГ-10 Ларукова А.

Проверила Прудникова О. М.

Ухта 2012

Элементы математической статистики.

Задача

Выполнение задания

Известны х₁ ,х₂ ,…,х_n – результаты независимых наблюдений над случайной величиной х.

Х – проходка на долото

13 вариант

									136.6

Сгруппируем эти данные в интегральную таблицу

а) Определить объем выборки

n = 76

б) Определить Х_maxи X_min элементы выборки

Х_max = 307 X_min = 2

Тогда размах выборки - R = Х_max - X_min =305

в) По формуле Серджеса определяем количество интервалов

k = 1+3,322∙lg(n) = 7,25 ≈ 7

г) Рассмотрим шаг разбиения

h = R÷k = 305÷7 = 43,57

д) Вычислим начальное значение интервальной таблицы

X_нач = X_min -0,5∙h = -19,79

е) Составим интервальную таблицу

где Х – проходка на долото

Xi - …	(-19,79;29,78)	(29,78;67,35)	(67,35;110,92)	(110,92;154,49)	(154,49;198,06)	(198,06;241,63)	(241,63;285,2)	(285,2;328,77)
ni
Xi ср	4,995	48,565	89,135	132,705	241,63

Построить полигон частот, гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

а) Построение полигона частот

Полигоном частот – называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (х₁ ,n₁), (х₂ ,n₂), (х_k ,n_k). Для построения полигона на оси абсцисс откладывают варианты х_i , а на оси ординат – соответствующе им частоты n_i . Точки (х_i , n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

б) Построим гистограмму частот

Гистограммой частот – называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h , а высоты равны отношению n_i /n (плотность частоты).

в) Построить моду и медиану

Модой – называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.

Медиана – называют варианту, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Хi	(-19,79;29,78)	(29,78;67,35)	(67,35;110,92)	(110,92;154,49)	(154,49;328,77)
ni
ni /h	0,8	0,44	0,16	0,16	0,18

г) Найдем и построим эмпирическую функцию распределения

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) – называют функцию F*(x) определяющую частоту события Х<х. F*(x) = n_x /n

д) Построим кумуляту

Кумулята – это график составленный из накопительных частот то есть это сглаженное изображение эмпирической функции распределения.

Хi	(-19,79;29,78)	(29,78;67,35)	(67,35;110,92)	(110,92;154,49)	(154,49;328,77)
ni
ni /n	35/76	19/76	7/76	7/76	8/76
Xi ср	4,995	48,565	89,135	132,705	241,63

Найдем несмещенную оценку математического ожидания и дисперсии случайной величины х

Х – проходка на долото

а) Несмещенная оценка

X_несм =

б) исправленная дисперсия

=

(X_выб)² =363,609

в) «Исправленное» среднее квадратическое отклонение.

11691,37 = 11847,26

Найти интервальные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины х с надёжностью = 0,9 и = 0,95

X – проходка на долото; n = 76; X_выб = 60,3; S = 108,85; = 11691,37; =

а) Найдем интервальные оценки математического ожидания

1) Ф(t) = =

2)

б) Найдем интервальные оценки дисперсии

1) = 0,99; q( ;n) = (0,99;76)

82,18 133,45

6753,55 17808,9

(6753,55;17808,9)

2) = 0,95; q( ;n) = (0,95;76)

89,91 126,37

8083,81 15969,38

(8083,81;15969,38)

Выдвинуть гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверить ее при уровне значимости

Выдвинем гипотезу об истинном значении параметра нормального распределения и проверим ее при уровне значимости

примем

Проверим гипотенузу

При конкурирующей гипотенузе

Решение:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия

б) при найдем

нет основания отвергнуть гипотезу ,т.е. выборочная средняя незначимо отличается от гипотетической (предполагаемой)генеральной средой

Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины x проверить ее по критерию (Пирсона) при уровне значимости

Выведем гипотенузу о нормальном законе распределения случайной величины х и проверим ее по критерию при уровне значимости имеем

нормальный закон распределения наблюдается

нормальный закон распределения не наблюдается

а) Составим вспомогательную таблицу вида

№	Частичный интервал	Нормированный правый конец	Нормированный левый конец			Теоретическая вероятность	Теоретическая частота	Эмпирическая частота
	(-19,79; 29,78)	-0,28	-0,74	-0,1103	-0,2703	0,16	12,16
	(29,78; 67,35)	0,06	-0,28	0,0239	-0,1103	0,1342	10,2
	(67,35; 110,92)	0,47	0,06	0,1808	0,0239	0,1569	11,92
	(110,92; 154,49)	0,87	0,47	0,3078	0,1808	0,127	9,65
	(154,49; 328,77)	2,47	0,87	0,4932	0,3078	0,1854	14,09

б) Сравним эмпирическую и теоретическую частоты.

эмпирическая частота
теоретическая частота	12,16	10,2	11,92	9,65	14,09

Вывод: расхождение случайно

		12,16	22,84	521,67	42,9
		10,2	8,8	77,44	7,59
		11,92	-4,92	24,21	2,03
		9,65	-2,65	7,02	0,73
		14,09	-6,09	37,09	2,63

Задача

Применяя метод наименьших квадратов на основе экспериментальных данных найти эмпирическую формулу, выражающую зависимость y от x. Построить теоретическую зависимость и экспериментальные точки на одном графике.

x	-2	-1
y	5,2	2,7	-0,2	-0,8	-2,7	-5,3	-7,4

1) Для оценки вида функциональной зависимости представим данные таблицы на координатной плоскости.

Основываясь на график, можно предполагать, что данная функция зависимости является линейной

2) Предусматриваем нахождения параметров ( этих зависимостей из условий минимума алгебраической суммы квадратического отклонения

3)Где коэффициенты найдем из решения системы для квадратической зависимости:

n-количество пар в таблице

4)Для решения системы следует составить вспомогательную таблицу

	-2	5,2		-10,4
	-1	2.7		-2,7
		-0,2
		-0,8		-0,8
		-2,7		-5,4
		-5,3		-15,9
		-7,4		-29,6
		-8,5		-64,8

0,0225;

Задача

При исследовании коэффициента трении полимерного волокна для двух образцов были получены следующие силы трения. Можно ли считать, что в среднем образцы одинаковы.

1 обр	5,01	4,89	4,89	4,88	4,88	4,92
2 обр	4,88	5,00	5,02	4,90	4,90	4,95

Ход решения: 1) Вычислить