Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты

Определение

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний до двух данных точек плоскости Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru и Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Расстояние между фокусами – 2c.

Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат (рис. 2.13.1), то каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru (2.13.1)

Где Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Уравнение вида (2.13.1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат – ее центром симметрии. Ось Ox называется действительной осью, а Oy – мнимой осью гиперболы. Точки пересечения гиперболы с осью называются вершинами гиперболы.

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru

Рис. 2.13.1.

Прямоугольник со сторонами 2a и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы и определяются уравнениями

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . (2.13.2)

Эксцентриситетом гиперболы (как и эллипса) называется число Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , где a – расстояние от центра гиперболы до ее вершины. Очевидно, что для любой гиперболы e>1.

Если M(x;y) – произвольная точка гиперболы, то отрезки Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru и Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы правой ветви гиперболы могут быть вычислены по формулам Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru и Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Фокальные радиусы левой ветви гиперболы – по формулам Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru и Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Если гипербола задана уравнением (2.13.1), то прямые, определяемые уравнениями Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , называются ее директрисами.

Пример

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если точка Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru лежит на гиперболе и известны уравнения асимптот Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Решение

Из уравнений для асимптот находим Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , или Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Поскольку точка Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru принадлежит гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению (2.13.1): Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , где Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru или Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Отсюда находим Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , тогда Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , следовательно, уравнение гиперболы имеет вид Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Пример

Дана гипербола Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Найти ее полуоси a и b, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот.

Решение

Разделим обе части этого уравнения на 144. Получим Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Значит a=3, b=4, следовательно оси гиперболы соответственно равны 2a=6 и 2b=8. Так как Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , то фокусы гиперболы находятся в точках Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru и Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . В соответствии с (2.13.2), уравнения асимптот имеют вид: Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Парабола, ее директриса

Определение

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости F, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Пусть дана некоторая парабола. Введем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 2.14.1). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением:

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru (2.14.1)

где p – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы). Уравнение (2.14.1) есть каноническое уравнение параболы.

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru

Рис. 2.14.1

Директриса данной параболы определяется уравнением Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Фокальный радиус произвольной точки M(x;y) параболы может быть вычислен по формуле

Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . (2.14.2)

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка, в которой парабола пересекается с осью симметрии, называется вершиной параболы. При указанном выше выборе системы координат ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, а вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Если вершину параболы (2.14.1) перенести в точку Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , то ее каноническое уравнение примет вид Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Пример

Найти фокус F и уравнение директрисы параболы Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Решение

Параметр данной параболы p=12. Поскольку расстояние от фокуса до директрисы равно Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , то фокус имеет координаты F(6;0), а уравнение директрисы Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , то есть x+6=0.

Пример

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке F(0;8).

Решение

Поскольку фокус параболы лежит на оси ординат, а ее вершина – в начале координат, то уравнение параболы можно записать в виде Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru . Так как ордината фокуса отрицательна, то уравнение параболы следует искать в виде Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Фокусное расстояние Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru , откуда 2p=32. Следовательно, уравнение параболы имеет вид Гипербола, ее эксцентриситет, директриса и асимптоты - student2.ru .

Наши рекомендации