Определение доверительных интервалов

Ранее мы получали статистические оценки, которые являются точечными и не являются абсолютно точными. Истинное значение параметра может быть как меньше так и больше.

Поэтому правильнее было бы указывать интервал, в пределах которого заключено истинное значение. Совершенно очевидно, что как бы широк этот интервал не был (в разумных пределах) утверждать со 100% вероятностью, что истинное значение заключается в нем утверждать нельзя. Можно говорить об этом с той или иной долей вероятности.

Например: с вероятность 0,9 можно утверждать, что продолжительность жизни человека находится в интервале между 65 и 75 годами, а с вероятностью 0,99 между 50 и 80 годами.

Рассмотрим способы определения доверительных интервалов и критерия доверия, то есть вероятность того, что рассмотренный параметр заключен в указанных пределах.

Если из генеральной совокупности N взять несколько k выборок. n₁,n₂,…n_k, и для каждой выборки определить параметр Т_ср1,Т_ср2,…Т_срк, то все они будут разными.

Причем отклонения Т_ср1,Т_ср2,…Т_срк от истинного значения Т_ср будут распределены по нормальному закону.

Параметры закона по статистической совокупности определяется по следующим формулам.

n Тср*=∑ (ti/n) i=1

(3.20)

Несмещённая оценка

n S* =√∑(ti-Tcp)/n-1 i=1

(3.21)

где

S^* - несмешанная оценка

n

Среднеквадратичное отклонение σ = √ ∑(t_i-T_cp)² / n

i=1

Стандартное отклонение полученное из ряда выработок:

σ* (Тср) = σ/√n

(3.22)

где

n - число отказов

Приведенные выражения 3.22 позволяют непосредственно определить доверительный интервал. Для этого необходимо знать численные значения долговечности Т_ср и среднеквадратическое отклонение σ.

При числе отказов n от 20-30 принять что Т_ср = Т_ср^*, σ = S^*

Если мы зададимся доверительной вероятностью, то есть площадью под кривой, то можем определить предельное отклонение. И наоборот, задавшись шириной интервала, можно определить коэффициент доверия.

Установлено, что доверительной интервал будет минимальный, если площади под кривой плотности распределения f(t) в интервалах (-∞ ; - ε ][ ε ;+∞) будет равны.

И если обозначить максимальное отклонение через Е то ширина интервала будет равна Т_ср± ε, а критерий доверия Р(Т_ср – ε ≤Т_ср≤ Т_ср+ε) =1-α

Р(Тср – ε ≤Тср≤ Тср+ε) =1-α

(3.23)

Вычисления критерия доверия, ведётся по обычной методике (по таблице интервала вероятности или функции Лапласа)

γ=1- α = Ф [ε/σ(Тср)] = Ф [(ε √n)/σ *] = Ф[(ε √n)/S*] =Ф(Z)=2Фо(Z)

(3.24)

Данная задача может решаться в двух вариантах

При первом варианте по выработанному значению γ вычисляется значение функции интервала вероятности, а затем вычисляется доверительный интервал ε.

Е = (Z*S*)/√n

(3,25)

Z = (E√n)/s^*

Пример

В результате приведенных испытаний получили значения времени t_i безотказной работы для 16 комплектов аппаратуры.

n

Т*_ср = ∑t_i/n , T*_cp = 2000 часов

i=1

Несмещённая оценка:

S^* = [√∑(t_i – T*_cp)²/(n-1)] = 340 часов

γ = 0,9 принимаем критерия доверия.

По таблице ф-ии Лапласа находим что 2Ф_о(z) =0,9 z=1.64

Зная аргумент функции z определяем доверительный интервал.

ε = 1,64*340/√16 = 140

1860<T_cp<2140 часов с вероятностью 0,9

Пример

Определить коэффициент доверия при заданном доверительном интервале.

примем доверительный интервал 50 часов ε = 50 часов

Z = (E√n)/s^*=(50√16)/340

по таблице находим Ф_о(0,59) = 0,22

степень доверия:

γ = 2Ф_о(0,59)= 0,446

Данный метод может использовать, когда много данных об отказах и отказы постепенные и имеют нормальны закон распределения.

И случае экспоненциального закона или при малых количествах отказов пользуясь этой методикой, так как в этом случае Тср≠Тср, а σ≠S*

рассмотрим случаи, когда отказы распределения по нормальному закону, но число данных об отказах мало: в этом случае вводится ещё одна случайная велечена

t = (Tcp*-Tcp )/ S*	(3.26)
n σ*(Tcp) = σ*/√n = S* =√(∑(ti – Tcp)2/n(n-1))	(3.27)

ⁱ⁼¹

Случайная величена t подчиняется закону распределения Стьюдента. Особенность этого закона заключается в том, что он напрямую не зависит от σ, Т_ср, а зависит от числа отказовn

Задавшись доверительным интервалом t_α можно найти коэффициент доверия. коэффициент доверия - вероятность того что искомое значение будет находится в интервалах от -t_α до t_α ([-t_α; t_α]). пользуясь распределением Стьюдента можно записать что:

tα tα γ = P{- tα ≤ t ≤ tα} = ∫ Sn(t)dt= 2 ∫ Sn(t)dt -tα 0

(3.28)

t_α

γ = P{-t_αS^*≤T_cp^*-T_ср≤ t_αS^*} = 2 ∫ S_n(t)td

t_α = ε / S^* = T_cp^* -T_cp / S^*

Затем по таблице значений Стьюдента в зависимости от tα, n можно найти коэффициент доверия γ или наоборот в зависимости от выбранного значения γнайти значение Е

ε = tαS*

(3.29)

В соответствии с данными предыдущего примера.

n

S^* =√[∑(t_i – T_cp)²/n(n-1)] ; S^* = 85

i=1

Примем γ = 0,9. тогда при n = 16 из таблицы распределения Стьюдента t_α = 1,75

В соответствии с формулой 3.29 ε= 1,75 * 85 = 149ч.

Данный способ может использоваться при любом законе распределения отказов.

Рассмотрим определение доверительных интервалщв для Т_ср при экспоненциальном законе распределения при плане испытаний [N,Б,r] без замены элементов. из математики известно, что величина.

U = 2S_Б(r) λ = 2Sб(r) / T_cp

S_б(r) – суммарное время исправной работы.

Из математики известно, что U распределена по закону с 2r степеней свободы.

Функция плотности распределения χ² имеет вид

n SБ (r) = ∑ti +(N-r)tr i=1

Вероятность того что U в пределах от χ²₁ до χ²₂ равна площади под кривой плотности распределения f_2r(U) и ограниченная значением χ²₁ , χ²₂

в общем виде:

χ²₂ ∞ ∞

γ = P{ χ²₁≤ U ≤ χ²₂} = ∫ f_2r (U) dU = ∫ f_2r(U) dU-∫f_2r(U)dU (3.30)

χ²₁ χ²₁ χ²₂

∞

Интервал ∫f2r(U)dU – табулирован

χ²₂

Точка образа зависимости λ_н ,λ_в, вычисляется значением χ²₁ и χ²₂ по таблице определяем коэффициента доверия.

Чаще стоит задача по значению доверительной вероятности γ найти λ_н ,λ_в

Установлено что доверительный интервал будет минимальный если площадь под кривой f_2r(U) в интервалах [ 0 , χ²₁] ,[ χ²₂ ;∞ )

Тогда абсцисса χ²₁ , χ²₂ соответственно ограниченивают площади

0,5(1+γ); 0,5 (1-γ)

Последовательность определения доверительных интервалов сводится к следующему: задавшись коэффициентом доверия γ , определяют площади 0.5(1+γ) ; 0.5 (1-γ) и зная число степеней свободы 2r по таблице χ² распределения находим значение χ²₁ и χ²₂. Доверительные оценки λн ,λв могут быть найдены и следующие неравенства.

χ21(2r) ≤ 2SБ(r)λ ≤ χ22(2r)

(3.31)

Заменив ≤ на = можно записать

λn = χ21(2r) / 2SБ(r)

(3.32)

λв = χ22(2r) / 2SБ(r)

(3.33)

Т_ов = 1/λ_n ; Т_он = 1/ λ_в наработка на отказ