Рівносильність рівнянь

Два рівняння називаються рівносильними (еквівалентними), якщо множини їх розв'язків (корінь) збігаються, тобто це такі рівняння, які мають ті самі корені. Рівносильними вважаються й рівняння, кожне з яких не має коренів.

Наприклад, рівняння х+1=7 і х+4=10 рівносильні, тому що
кожне з них має єдиний корінь — число 6. Рівносильні й рівняння х² = -4 і Зх² +5 = 0 (на області дійсних чисел), тому що жодне з них не має коренів.

Рівняння х-8=1 і х²=81 не рівносильні, тому що рівняння х-8=1 має тільки один корінь х=9, тоді як рівняння
х² = 81 має два корені: х₁ = 9 і х₂ = -9.

Перетворення, при яких рівняння переходить у рівносильне йому рівняння

1) Якщо в рівнянні поміняти місцями ліву й правую
частини, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад,
х + 4 = 2х + 9<=> 2х + 9 = х + 4.

2) Якщо в рівнянні який-небудь доданок перенести з
одної частини в іншу, змінивши його знак на протилежний, то
отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад,
2х + 7 = х- 3<=>2 х-х = -7-3.

3) Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на
одно й те ж відмінне від нуля число, то вийде рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння рівносильне рівнянню х+1=4х (рівняння х+1=4х отримано з рівняння множенням обох частин на число 4).

4) Якщо до обох частин рівняння додати або відняти одно
и те ж число, то вийде рівняння, рівносильне даному.


Наприклад, х + 2 = 5х<=>х + 2 + 7 = 5х + 7; 5х + 2 = 0<=>5х + 2- 2 = 0- 2.

5) Якщо до обох частин рівняння додати або відняти будь-яку функцію, то вийде рівняння, рівносильне данному
за умовою, що області визначення отриманого й данного
рівняння збігаються.

Наприклад, х = 2<=>х + х²=2 + х²;


х³ + 5х = 8 + 5х <=> х³ = 8