Дирихле есебі үшін торлар әдісі

Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru (2)

Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru (3)

шартын қанағаттандыратын Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru формуласын табу керек, мұндағы Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru – берiлген үзiлiссiз функция.

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru және Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru және әрбiр iшкi Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru түйiнiнде Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru (4)

мұндағы Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi.

Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Егер Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru болғанда (2) Лаплас теңдеуі деп аталады.

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru және сәйкес ақырлы-айырымдық теңдеулер келесi түрде жазылады:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru және Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru теңдеулердi жазған кезде келесi түйiндер сұлбасы қолданылды:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

2-сурет

Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен алмастыру қателiгi, яғни Лаплас теңдеуi үшiн қалдық мүше Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru келесi теңсiздiкпен бағаланады:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

мұндағы

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады:

1. Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен;

2. Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен;

3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден.

МЫСАЛ

Қабырғасы 1-ге тең, оқшауланған жазық шаршы пластинкадағы жылудың станционар үлестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұрақты болған жағдайда қарастырайық.

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

3-сурет

Температураның үлестірімін беретін Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru ( Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru , Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru ) функциясы Лаплас теңдеуінің шешімі болатыны белгілі:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Берілген есеп үшін шекаралық шарттар 3-суретте көрсетілген.

Шешуі:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru қадаммен тор құрамыз, тоғыз ішкі тораптар аламыз. Осы тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулер құрамыз.

Шекаралық шарттардың симметриялылығын

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 11= Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 31, Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 12= Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 32, Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 13= Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru 33 (1)

Бұл Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru функциясының ішкі тораптардағы белгісіз мәндерінің санын тоғыздан алтыға дейін азайтады.

Осылайша (3,1), (3,2), (3,3) тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулерді жазудың қажеті жоқ. Қалған ішкі (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) тораптарда сәйкес алты теңдеуді аламыз:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Бұл теңдеулер құрамына тағы функцияның шекаралық нүктедегі 12 мәні кіреді. Ол мәндерді біз шекаралық шарттардан аламыз:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru (3)

Қалған тораптарға шекаралық шарттар қолданылмайды.

(2), (3) шарттарды ескере отырып, нақты түрде келесі жүйені аламыз:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешіп, алатынымыз:

Дирихле есебі үшін торлар әдісі - student2.ru

Наши рекомендации