Теорема о свойстве равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. BL – медиана, высота.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. BL –биссектриса, высота.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. BL – медиана, биссектриса.

26. Треугольник называется равносторонним или правильным, если все его стороны равны.Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

∠A = ∠В = ∠C = 60°.

27. Теорема. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если

то

28. Теорема. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если

то

29. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, равноудаленных от данной точки. Данная точка называется центром окружности (лат. слово centrum – «острие ножки циркуля», «колющее орудие»).

Длина окружности:

Площадь круга:

30. Радиус (лат. radius — спица колеса, луч) окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой. Для любой точки L, лежащей на окружности выполняется равенство OL=R. Длина отрезка OL равна радиусу окружности.

31. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой (греч. χορδή «струна, жила»).CD – хорда.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (греч. διάμετρος «поперечник»).

AB = D, D= 2R.

32. Часть окружности, заключенная между двумя ее точками называется дугой

(от русск. «радуга»);окружности. Две точки окружности определяют две дуги.

Хорда CD стягивает две дуги: CАD и CВD

33. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Круг — геометрическое место точек плоскости (всех таких точек), расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку. Границей круга по определению является окружность.

34. Две прямые на плоскости называются параллельными (параллель от греч. παράλληλος «линия, идущая вдоль другой»), если они не пересекаются. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжать.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «||». То есть, если прямые c и d параллельны, то можно кратко записать:

c || d

35. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

36 .Теорема. Свойство параллельных прямых. Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой параллельной прямой.

Принято считать, что угол между параллельными прямыми равен нулю.

Угол между двумя параллельными лучамиравен нулю, если у них одинаковые направления, и 180°, если их направления противоположны.

37. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные:

1) соответственные углы ( 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 ); эти углы попарно

равны: ( 1 = 5; 2 = 6; 3 = 7; 4 = 8 );

2) внутренние накрест лежащие углы ( 4 и 6; 3 и 5 ); они попарно равны;

3) внешние накрест лежащие углы( 1 и 7; 2 и 8 ); они попарно равны;

4) внутренние односторонние углы ( 3 и 6; 4 и 5 ); их сумма равна 180°

( 3 + 6 = 180° ; 4 + 5 = 180° );

5) внешние односторонние углы ( 1 и 8; 2 и 7 ); их сумма равна 180°

( 1 + 8 = 180°, 2 + 7 = 180°).

38. Теорема. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если 4= 6, то прямые параллельны.

39. Теорема. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если 2 = 6, то прямые параллельны.

40.Теорема. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Если 3 + 6 = 180°, то прямые параллельны.

41. Аксиомы (греч. слово axios- ценный; axioma – «принятие положения», «почет», «уважение», «авторитет») – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются без доказательств в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.

42. Аксиома. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

43. Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Через точку K, не лежащую на данной прямой a, проходит только одна прямая b, параллельная данной прамой a.

44. Теорема. Свойства параллельных прямых. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если прямая c пересекает одну прямую a, причем a || b, то она пересекает и прямую b.

45.Теорема.Признак параллельных прямых.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Если a || c, b || c, тогда a || b.

46. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является вывод данной теоремы, а выводом – условие данной теоремы.

47. Теорема (обратная). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если a || b, тогда 3= 5.

48. Теорема(обратная). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Если a || b, тогда 4= 8

49.Теорема(обратная). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.Если a || b, тогда 3+ 8=180°.

50.Углы с соответственно параллельными сторонами либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые), либо их сумма равна 180°.

АВС = DEF ABC + DEF = 180°

51.Углы с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны друг другу ( если они оба острые, или оба тупые ), либо их сумма равна 180°( если один из них острый, а другой тупой).