Интерполяция по Чебышевским узлам

Желая, чтобы интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(х)в целом хорошо приближал функцию у= f(x) на отрезке [а, b], поставим вопрос: как расположить на нем n+1узлов интерполяции х_i, (i= 0, 1, …, n), чтобы при этом минимизировать максимальную на [а,b] погрешность?

Максимальная погрешность интерполирования достаточно гладкой функции на отрезке [-1, 1] многочленом п-й степени будет минимальной, когда в качестве узлов интерполяции берутся корни многочлена Чебышева T_n+1(t). Будем называть их чебышевскими узлами интерполяции.

Знание экстремальных значений многочлена Чебышева позволяет уточнить величину максимального отклоне­ния L_n(x) от f(x) при таком выборе узлов, т.е. когда точки t_i есть корни a А именно,

Эта оценка называется наилучшей равномерной оценкой погрешности интерполяции.

Если функция f(x) бесконечно дифференцируема на [а, b] и в качестве узлов интерполяции берутся корни многочленов Чебышева (приведенные к отрезку [а, b], то

Обобщением этого факта для непрерывных (необязательно дифференцируемых) функций и произвольных (не обязательно интерполяционных) многочленов является ши­роко известная в математическом анализе теорема.

Теорема (Вейерштрасса). Для любой непрерывной на [а, b] функции f(x) най­дется многочлен Q_n(x) такой, что

Доказано, что для любой функции f(x) существует единственный многочлен такой, который из всех многочленов Q_n(x) степени n наилучшим образом аппроксимирует на [а, b] функцию f(x), минимизируя максимальное расстояние между f(x) и Q_n(x). Этот многочлен, т.е. многочлен такой, что

называется многочленом наилучшего равномерного приближе­ния для f(x) на [а, b] или ее чебышевским приближением.

Одним из характеристических свойств многочленов наи­лучших равномерных приближений является критерий Чебы­шева. Его отражает следующая теорема.

Теорема (Чебышева). Многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f(x) тогда и только тогда, когда на [а, b] существует не менее n + 2 точек х_i таких, что в них поочередно принимаются наибольшие положительные и отрицательные отклонения, т. е. поочередно разностьf (x_i) - равна Е или - Е, где

Эта теорема говорит о том, что максимальная ошибка аппроксимации функции многочленом наилучшего равно­мерного приближения реализуется в числе точек, большем, по меньшей мере, на 2, чем степень многочлена, причем знаки ошибки чередуются. Точки х_i, в которых реализуется максимальное отклонение многочлена от f(x) на [а, b], назы­ваются точками чебышевского альтернанса.

К сожалению, неизвестны ни общий вид многочленов наи­лучших равномерных приближений, ни способы их построения, имеются лишь некоторые методики построения многочленов, близких к наилучшим равномерным, а также способы построения чебышевских приближений невысокого порядка для нескольких весьма узких классов функ­ций. Последние существенно опираются на приведенную теоре­му о чебышевском альтернансе, что демонстрируется в следую­щих двух простейших случаях.

Случай А. Пусть функция f(х) непрерывна на [a,b], и пусть для нее требуется построить многочлен наилучшего рав­номерного приближения нулевой степени. Обозначим этот приближающий многочлен через Он определяется всего одним параметром: . Чтобы найти значение этого па­раметра для заданной функции f(х), воспользуемся тем свойст­вом непрерывной на замкнутом промежутке функции, согласно которому на нем всегда найдутся, по крайней мере, две точки, в которых она принимает свои наименьшее и наибольшее значе­ния.

Пусть Тогда совершенно очевидно, что полагая т.е. подменяя функцию f(x) функцией будем иметь максимальное откло­нение

причем точки отрезка [а, b], в которых оно реализуется — это точки, где принимаются значения т и М. В силу непрерывнос­ти f(х), локальные минимумы и максимумы должны чередоваться; по меньшей мере, два из них определяют точки чебышевского альтернанса (с чередованием знаков разностей f(x)- ). Поэтому не существует другой постоянной, которая приближала бы f(x) на [а, и] лучше, чем постоянная .

Случай Б. Пусть аппроксимируемая функция f(x) диффе­ренцируема и выпукла (в широком смысле) на отрезке [а, b], a аппроксимирующая ее функция — многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени. Чтобы найти его коэффициенты следует изучить раз­ность между f(x) и φ(х), т. е. функцию

Так как функция f(x) по предположению выпукла, а сдвиг на линейную функцию A₀ + А₁х не изменяет выпуклости, то и функция u(х) выпукла на [а, b]. Следовательно, существует единственная точка с∈[а, b], в которой u(х) имеет минимум; если u(х) выпукла вверх, то в точке с должен быть максимум u(х). В любом случае, точка с∈[а, b] есть точка экстремума u(х), и за счет возможности варьирования коэффи­циентов функции φ(х) (точнее, коэффициента А₁) можно счи­тать, что точка с является внутренней точкой отрезка [а, b].

Потребуем, чтобы точки а, с и b в указанной последова­тельности составляли чебышевский альтернанс, т. е. чтобы в них последовательно принимались значения Е, - Е, Е или - Е, E, -E, где — максимальная погрешность аппроксимации функции f(x) функцией φ(х). Добавляя к этим требованиям еще необходимое условие экстремума дифференцируемой функции u(х) в точке с и воз­вращаясь к исходным функциям, приходим к системе четырех уравнений относительно четырех неизвестных A₀, А₁, Е и с (из которых, в основном, лишь первые три неизвестные представля­ют интерес):

Получить решение такой системы в общем виде не представля­ется возможным, поскольку неизвестная величина с входит в нее нелинейным образом (в каждом конкретном случае подобная система без проблем решается численно).

Пример. Построим многочлены наилучшего равномерного приближения нулевой и первой степеней для функции y = sinx на отрезке [0, π/6].

Сразу заметим, что данная функция всюду дифференцируема (а значит, непрерывна) и выпукла вверх на заданном отрезке. При этом

Следовательно, согласно рассмотренному выше случаю А, найдя

при х∈[0, π/6] можно считать, что sinх≈0.25 с предельной погрешностью 0.25.

Далее, в соответствии со случаем Б, продифференцировав данную функцию, составляем систему:

Из нее последовательно находим:

Таким образом, функцию y = sinx на отрезке [0, π/6] можно подменить линейной функцией у = 0.0045 + 0.9549x, и наибольшая ошибка при этом не будет превышать величины ≈0.0045.

Задания: выполнить задание 2 и 3 ИДЗ№2.