Компонентные и топологические уравнения

Для одного и того же объекта (детали) на микро- и макроуровнях ис­пользуют разные математические модели. На ынкроуровно ММ должна отражать внутренние по отношению к объекту процессы, протекающие в сплошных средах. На макроуров­не ММ того же объекта служит для отражения только тех его свойств, которые характеризуют взаимодействие этого объекта с другими элементами в составе исследуемой сис­темы.

Математические модели элементов на макроуровне полу­чают одним из способов, рассмотренных в § 4.3. Математи-

Таблица 4.1

Подсистема	фазовая переменная
Тип потенциала U	тип потока l
Механическая	Скорость	Сила
Механическая врата- тельная Электрическая Твпло*ая Гидравлическая и пнев­матическая	Угловая скорость Электрическое напря­жение Температура Давление	Вращательный мо­мент Электрический ток Тепловой поток Расход

ческне модели систем (ММС) формируют из математичес­ких моделей элементов (ММЭ) с помощью методов, из­лагаемых ниже.

Уравнении, входящие в ММЭ, называют ко.ияоненгкылш. Наряду с компонентными уравнениями в ММС обязательно входят уравнения, отражающие способ связи элементов между собой в составе системы и называемые топологичес­кими. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т. п.

В используемых в САПР методах формирования ММС принято моделируемую систему представлять в виде сово­купности физически однородных подсистем. Каждая под­система описывает процессы определенной физической природы, например механические, электрические, тепловые, гидравлические. Как правило, для описания состояния од­ной подсистемы достаточно применять фазовые переменные двух типов — потенциала и потока В первых столбцах табл. 4.1 конкретизированы типы фазовых переменных при­менительно к ряду встречающихся подсистем.

Особенностью топологических уравнений является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые перемен­ные, относящиеся к разным элементам системы. Примером могут служить уравнения законов Кирхгофа, записываемые относительно либо токов, либо напряжений ветвей. Для компонентных уравнений характерно то, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу. Так, уравнение закона Ома связывает тох и на­пряжение резистора.

Формы представления моделей. Элементы подсистем мо­гут быть простыми и сложными. Элемент называют про-

	Параметры простых элементов
	С	L	R
	Масса Момент инерции Электрическая ем­кость Теплоемкость Гидравлическая ем­кость	Гибкость (обратная пеличипа — жест­кость) Вращательная гиб­кость Электрическая индук­тивность Гидравлическая ин­дуктивность	Механическое сопротив­ление Врашателыюе сопротив­ление Электрическое сопротив­ление Тепловое сопротивление Гидравлическое сопро­тивление

стым, если соответствующая ему ММЭ может быть пред­ставлена в виде одного линейного уравнения, связывающего переменную типа потенциала U и переменную типа потока /, характеризующие состояние данного элемента

В физически однородных подсистемах различают три типа простых элементов. Это элементы емкостного, индук­тивного и резистивного типов. Соответствующие им ММЭ имеют вид

CdU/dt = l, Ldt/dt = U , U = RI (4.33)

где С, L, R — параметры элементов, физический смысл ко­торых поясняется в табл. 4.1.

Элементы подсистем в зависимости от числа однотипных фазовых переменных, входящих в ММЭ. делят на двухпо­люсники и многополюсники. Двухполюсник характеризуется чарой переменных типа U и I, определяется так же. как простой элемент, если снять условие линейности уравнения. Многополюсник можно представить как совокупность взаи­мосвязанных двухполюсников.

Для представления математических моделей на макро­уровне применяют несколько форм.

Инвариантная форма — представление модели в виде системы уравнений, записанной на общепринятом математи­ческом языке, безотносительно к методу численного реше­ния. Применительно к системам обыкновенных дифферен­циальных уравнений различают две инвариантные формы — нормальную и общую, определяемые тем, в каком виде — явном или неявном относительно вектора производ­ных — представлена система.

Ряд форм модели получается при преобразовании се уравнений на основе формул н требований выбранного чис­ленного метода решения. Так. численное решение диффе­ренциальных уравнений как в частных производных, так и обыкновенных требует их предварительного преобразова­ния — дискретизации и алгебраизации. Дискретизация за­ключается в замене непрерывных независимых переменных (времени и пространственных координат) дискретным мно­жеством их значений.

Алгебраизованная форма — результат представления дифференциальных уравнений в полученных после дискре­тизации точках в алгебранзованном виде с помощью формул численного интегрирования Ряд численных методов реше­ния основан на линеаризации исходных уравнений.

Линеаризованная форма модели — представление ее уравнений в линейном виде. Алгебранзация и линеаризация могут осуществляться по отношению ко всем или только избранным переменным, уравнениям или их частям, что увеличивает разнообразие возможных форм представления моделей.

Формы представления моделей определяются также ис­пользуемыми языковыми средствами. Наряду с традицион­ным математическим языком применяют алгоритмические языки, а также тс или иные графические изображения, об­легчающие пользователю восприятие модели и приводящие к представлению модели в той или иной схемной форме, на­пример представление моделей в виде эквивалентных схем, графов, к таким формам относится также представление разностных уравнений с помощью шаблонов (см. § 4.4).

Рассмотрим особенности представления моделей в виде эквивалентных схем.

В разных областях техники применяют специфические системы обозначений элементов на эквивалентных схемах. Будем использовать в дальнейшем единую систему обозна­чений для элементов всех подсистем, обычно применяемую при изображении электрических эквивалентных схем. При этом элементы представляют собой двухполюсники, которые могут быть пяти различных видов, их условные обозначения приведены на рис.

Рис. 4.5. Условные обозначения двухполюсных элементов

Получение эквивалентных схем—обычная для инжене­ров-схемотехников операция, выполняемая при анализе функционирования радиоэлектронных устройств. Переход от принципиальной электрической схемы к эквивалентной заключается в замене обозначений электронных приборов обозначениями двухполюсников (рис. 4.5. а) и добавлении ветвей, отображающих учитываемые паразитные парамет­ры. Не вызывает затруднений и составление на основе элек­трогидравлических и электротепловых аналогий эквива­лентных схем. отражающих гидравлические, пневматиче­ские и тепловые процессы в проекгируемых устройствах.

Составление эквивалентных схем для механических сис­тем начинается с выбора системы координат, начало О ко­торой должно быть связано с иперцнальной системой отсче­та. Далее формируются л эквивалентных cxew, где п — число степеней свободы. В общем случае возможны три эквивалентные схемы, соответствующие поступательным движениям вдоль координатных осей, и три эквивалентные схемы, соответствующие вращательным движениям вокруг осей, параллельных координатным осям. Рассмотрим пра­вила составления эквивалентных схем на примере одной из эквивалентных схем для поступательного движения: 1) для каждого тела A_t с учитываемой массой Ci в эквивалентной схеме выделяется узел »' и между узлом i и узлом О вклю­чается двухполюсник массы Сг, 2) трение между контактн* русмыми телами А_р к А_я отражается двухполюсником ме­ханического сопротивления, включаемым между узлами р и q\ 3) пружина, соединяющая тела А_р и а также дру­гие упругие взаимодействия контактируемых тел А_Р и А_я отражаются двухполюсником гибкости (жесткости), вклю­чаемым между узлами р и q.

В качестве примера на рис. 4.5, я приведена эквивалент­ная схема, моделирующая вертикальные скорости и усилия, возникающие в элементах движущегося транспортного уст­ройства. условно изображенного на рис. 4.5, б в виде плат­формы В и колес AI и Л2. Здесь учитываются массы плат­формы Св и колес Сл. жесткости колес La и рессор Ld. а также веса Рв, Рли Рл7 платформы н колес. Внешние воз­действия отражены источниками скорости U.

Часто на эквивалентных схемах рядом с обозначением нелинейного элемента указан его тип или записано его ком­понентное уравнение.

Для отражения взаимосвязей подсистем различной фи­зической природы, из которых состоит моделируемая техни­ческая система, в эквивалентные схемы подсистем вводят специальные преобразовательные элементы. Различают три вида связей подсистем. Трансформаторная и гираторная связи выражают соотношения между фазовыми перемен­ным двух подсистем, этим типам связей соответствуют пре­образовательные элементы, представляемые парами источ­ников юка или напряжения. Третий вид связи выражает влияние фазовых переменных одной подсистемы на пара­метры элементов другой и задается в виде зависимостей С, L ИЛИ R от фазовых переменных. Варианты эквивалентных схем трансформаторной (а) н гираторной (б, в) связей да­ны па рис. 4.6. где запись вида Л(А> означает, что фаэдвая переменная А является функцией фазовой переменной В,

Так, в гидравлическом приводе связь механической и гидравлической подсистем является гираторной и соответст­вует рис. 4.6, б,- если для источника объемного расхода в гидравлической подсистеме использовать выражение =SV, a я источника силы п механической подсистеме — выражение F=SP. где V — скорость перемещения поршня; S — площадь поршня; Р — давление жидкости в цилиндре.