Вынужденные колебания. Резонанс

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих, когда на точку, кроме восстанавливающей силы , действует еще периодически изменяющаяся со вре­менем сила , проекция которой на ось Ох равна

Q=Q₀sinpt.

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происхо­дящие при действии такой силы, называются вынужденными. Вели­чина Р является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со временем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда Q_x определяется указанным равенством. Такая возмущающая сила назы­вается гармонической.

Рассмотрим движение точки, на которую, кроме вос­станавливающей силы , действует только возмущаю­щая сила . Дифференциальное уравнение движения в этом случае

Разделим обе части этого уравнения на т и положим

Тогда, учитывая обозначение, приведем уравнение движения к виду

Уравнение является дифференциальным уравнением вынуж­денных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его решением, как известно из теории дифференциальных уравнений, будет , где - общее решение уравнения без правой части, а - какое-нибудь частное решение полного уравнения.

Полагая, что p = k, будем искать решение в виде

где А - постоянная величина, которую надо подобрать так, чтобы равенство обратилось в тождество. Подставляя значение и его второй производной в уравнение будем иметь:

Это равенство будет выполняться при любом t, если A(k²-p²)=P₀или

Таким образом, искомое частное решение будет

Так как , а общее решение имеет окончательно вид

где A и - постоянные интегрирования, определяемые по начальным данным. Решение показывает, что колебания точки складываются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой A (зависящей от на­чальных условий) и частотой k, называемых собственными колеба­ниями, и 2) колебаний с амплитудой А (не зависящей от начальных условий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ниями

График вынужденных колебаний показан на рис.16.

Рис.16

Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте воз­мущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числи­тель и знаменатель на k², можно представить в виде:

где , т. е. есть величина статического отклонения точки под действием силы Q₀. Как видим, A зависит от отношения частоты р возмущающей силы к ча­стоте ω₀ собственных колебаний.

Подбирая различ­ные соотношения между р и ω₀, можно получить вынужденные коле­бания с разными амплитудами. При p=0 амплитуда равна (или близка к этой величине). Если величина р близка к ω₀, амплитуда A становится очень большой. Когда p>> ω₀, амплитуда A становится очень малой (практически близка к нулю).

Резонанс. При вынужденных колебаниях в случае, когда p= ω₀, т.е. когда частота возму­щающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса (резкое возрастание амплитуды колебаний системы). Размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограниченно возрастать так, как показано на рис.16.1. При резонансе наступают наиболее благоприятные условия для поступления энергии в колеблющуюся систему от источника внешней силы. Увеличение амплитуды происходит до тех пор, пока вся работа внешней силы не сравняется с энергией потерь. В реальных условиях всегда существуют факторы, ограничивающие амплитуду колебаний и определяющие возможность существования резонанса. Это, прежде всего, рассеивание (диссипация) энергии в системе и неточное совпадение частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы.

Амплитуда при резонансе

а резонансная частота

Рис.16.1

Резонанс играет большую роль в природе, науке и технике. Резонанс сооружений и машин при периодических внешних воздействиях может являться причиной катастроф. Чтобы избежать резонансного воздействия, подбирают соответствующим образом свойства системы или используют успокоители колебаний, основанные на явлении антирезонанса. В радиотехнике благодаря резонансу можно отделить сигналы одной (нужной) радио- или телестанции от всех других.