Элементарная теория вероятностей

1. Элементы комбинаторики.

1) В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных; в) все 5 шаров были одинакового цвета?

2) На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участия игры?

3) Сколькими способами из студентов вашей группы можно отобрать двух человек для замещения должностей старосты и профорга?

4) Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на «хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

5) Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определенные три книги стояли рядом? Не рядом?

6) Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

7) Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов: а) ЛИНИЯ, б) ПАРАБОЛА, в) БИССЕКРТИСА, г) МАТЕМАТИКА.

1. Случайные события.

1) Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется: а) случайно названное двузначное число; б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

2) Из колоды карт (их 36) вытаскивают наудачу 5 карт. Какова вероятность того, что будут вытащены 2 туза и 3 шестерки?

3) В аквариуме плавают 24 рыбки, из которых половину составляют гуппи. Кот случайным образом поймал 4 рыбки. Какова вероятность того, что ему достались 3 гуппи?

4) В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до одного из концов отрезка не превосходит 1/7.

5) Найти вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных правильных дробей не больше единицы, а их произведение не больше .

6) Внутри эллипса расположен круг . Найти вероятность попадания точки в область, ограниченной эллипсом и кругом.

7) Вероятности успешной сдачи экзамена по математике, физике и философии у Иванова соответственно равны 0,6, 0,7 и 0, 75. Найти вероятность того, что он успешно сдаст только 2 экзамены.

8) Вероятность того, что машина не сломается в ближайший год равна 0,61. Страховая компания страхует на год две машины. Найти вероятность того, что: а) страховой компании не придется платить страховую премию; б) страховой компании предстоят самые большие выплаты; в) сломается хотя бы одна машина.

9) Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - в 20%, вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4. а) Вычислить надежность прибора за время полета. б) Известно, что при условиях предыдущего примера прибор за время полета сработал надежно. Найти вероятность того, что прибор сработал в условиях перегрузки.

10) Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Проведено 10 бросков. Что вероятнее: он забросит мяч 6 или 8 раз?

11) При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.

12) Прядильщица обслуживает 500 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет: а) ровно три обрыва нити; б) менее трех обрывов; в) более трех обрывов; г) хотя бы один обрыв.

1. Случайные величины.

1) Дана дискретная случайная величина X, задаваемая таблицей: в первой строке указаны значения случайной величины, а во второй строке – вероятности, с которыми принимаются эти значения. Требуется: а) найти вероятность ; б) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение величины X; в) построить многоугольник распределения; г) написать функцию распределения данной величины и построить график.

	-2	-1
	0,2	0,3	0,4

2) Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: p₁ = 0,4, p₂ = 0,5, p₃ = 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение X - числа отказавших приборов.

3) Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: и , причем . Вероятность того, что X примет значение , равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание МX == 2,6 и среднее квадратическое отклонение = 0,8.

4) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = 3X+4Y,если известны математические ожидания MX = - 2, MY = 2, дисперсии DХ = 4, DY = 2 независимых случайных величин X и Y.

5) Баскетболист делает 3 штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске 0,7. Построить ряд распределения числа попаданий мяча в корзину. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

6) Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

7) Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Написать закон распределения числа попыток сдачи экзамена. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.

8) Случайная величина задана функцией распределения . Найти , , , , . Построить графики функций , .

9) Исходя из свойств плотности распределения вероятностей , определить неизвестный параметр . Найти функцию распределения . Построить графики функций , . Найти , , , , : .

10) Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей: . Найти коэффициент , математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

11) Участок газопровода между компрессорными станциями (КС) имеет длину 100 км. Появление утечки газа равновероятно в любой точке участка. Найти функцию плотности распределения случайной величины – места утечки газа, и вероятность того, что утечка произойдет дальше, чем за 20 км от какой-либо КС.

12) Считая время работы радиолампы случайной величиной, имеющей показательное распределение, найти вероятность того, что наудачу выбранная лампа проработает не менее 200 часов, если среднее время работы радиолампы 400 часов.

13) Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратическое отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить вероятность, с которым доза удобрений меняется в пределах от 68,35 кг до 91,65 кг. Записать плотность распределения случайной величины.

14) Ошибка измерений прибора распределена нормально с дисперсией 9ед. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по модулю 4 ед.

15) Случайная величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением 5мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания.

16) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что , если .