Изучение процессов заряда и разряда конденсатора

Цель работы. Изучение кривых заряда и разряда конденсатора при различных параметрах RC электрической цепи и вычисление времени релаксации.

Оборудование. ИП – источник питания, PQ – звуковой генератор, ПИ – преобразователь синусоидальных импульсов (модуль ФПЭ-08), МС – магазин сопротивлений (R₁), МС – магазин сопротивлений (R₂), МЕ – магазин емкостей (С), РО – электронный осциллограф.

Рассмотрим процесс заряда конденсатора в электрической цепи, содержащей последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление R и источник ЭДС ε (рис. 1). Первоначально конденсатор не заряжен. Полагаем, что условия квазистационарности выполняются, то есть можно к этой цепи применять закон Ома. Тогда по закону Ома для неоднородного участка цепи имеем:

, (1)

где q > 0. Учитывая, что (положительный заряд на обкладке растет при зарядке) уравнение (1) перепишем в виде:

. (2)

Разделим переменные и проинтегрируем это уравнение с учетом начального условия (при t = 0, q = 0):

,

Откуда

, (3)

где q_m = εC.

Напряжение на конденсаторе меняется по закону:

Закон изменения тока в цепи получим дифференцированием:

, (4)

где . Графики функций q(t) и J(t) представлены на рис. 2.

Рассмотрим процесс разряда конденсатора с емкостью С, пластины которого замкнуты сопротивлением R. Пусть dq – уменьшение заряда конденсатора за время dt . При разряде конденсатора в цепи (рис. 3) протекает ток . Известно, что q = CU, где

U – модуль разности потенциалов (напряжение) на пластинах конденсатора. По закону Ома имеем JR = φ⁺ - φ^- = U = q/C, или

. (5)

Интегрируя уравнение (5) при условии, что в момент времени t = 0 q = q₀, получим:

; , (6)

откуда . (7)

График зависимости q(t) приведен на рис. 4. Закон изменения напряжения на конденсаторе в процессе разряда аналогичен (7):

(8)

где

Произведение RC = τ имеет размерность времени и называется постоянной времени или временем релаксации. За время τ заряд конденсатора уменьшается в e раз. Для определения RC часто удобно измерять время, за которое величина заряда падает до половины первоначального значения, так называемое «половинное время» t_1/2. «Половинное время» определяется из выражения:

(9)

Взяв натуральный логарифм от обеих частей уравнения (9), получим t_1/2 = RC ln2 = RC·0,693 или

RС = 1,4425·t_1/2. (10)

Способ измерения постоянной времени состоит в определении t_1/2 и в умножении полученной величины на 1,44. Так как экспонента асимптотически приближается к оси абцисс, то точно установить окончание процесса разряда конденсатора (так же как и процесса заряда) не представляется возможным. Поэтому целесообразно измерять время уменьшения величины заряда в 2 раза, то есть «половинное время». За каждый интервал времени t_1/2 = 0,693 RC заряд на емкости уменьшается в 2 раза (рис. 5).

Если обкладки конденсатора попеременно подключить к источнику тока и к сопротивлению R (рис. 6), то график процесса заряд-разряд конденсатора будет иметь вид, показанный на рис. 7. Процесс заряда-разряда можно наблюдать с помощью осциллографа, подавая на вход Y напряжение с конденсатора С.