Программа вступительного экзамена по математике

Основные математические понятия, факты и формулы, которые должен знать абитуриент, уметь правильно их применять при решении задач, ссылаться на них при пояснении решения задач.

Арифметика, алгебра и начала анализа

1. Натуральные числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.

2. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

3. Целые, рациональные и действительные числа. Проценты.

4. Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

5. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.

6. Логарифм. Свойства логарифмов.

7. Синус, косинус, тангенс, котангенс числа (угла). Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.

8. Значения тригонометрических функций некоторых углов.

9. Числовые и буквенные выражения. Одночлен и многочлен. Равенство и тождество. Формулы сокращенного умножения.

10. Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.

11. Функция. Способы задания функции. Область определения и множество значений функции. Функция, обратная данной.

12. Возрастание и убывание, периодичность, четность и нечетность функции. График функции.

13. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

14. Определение, график и основные свойства функций: линейной ; квадратичной ; степенной ; ; показательной ; логарифмической ( ; тригонометрических функций ( , , , ); арифметического корня .

15. Уравнение. Неравенство. Система. Решения (корни) уравнения, неравенства, системы. Равносильность.

16. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

17. Основное тригонометрическое тождество.

18. Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

19. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

20. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.

21. Формулы половинного аргумента, формулы двойных и тройных аргументов.

22. Формулы приведения.

23. Производная. Физический и геометрический смысл производной.

24. Правила дифференцирования. Производные функций , , , , , .

25. Первообразная. Правила нахождения первообразных. Первообразные функций , , , , .

26. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции.

Геометрия

1. Прямая. Луч. Отрезок. Ломаная. Длина отрезка. Угол. Величина угла. Вертикальные и смежные углы.

2. Окружность и круг. Центр, радиус, хорда, диаметр. Касательная к окружности, секущая. Дуга окружности. Круговой сектор. Центральные и вписанные углы. Длина окружности, длина дуги окружности. Радианная мера угла.

3. Многоугольник. Вершины, стороны, диагонали. Правильный многоугольник.

4. Треугольник, его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

5. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

6. Площадь треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

7. Площадь круга, площадь сектора.

8. Равенство и подобие фигур. Отношение площадей подобных фигур. Симметрия.

9. Вписанные и описанные фигуры на плоскости.

10. Прямые в пространстве. Параллельность и перпендикулярность прямых. Скрещивающиеся прямые. Угол между прямыми.

11. Прямая и плоскость в пространстве. Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.

12. Плоскости в пространстве. Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей.

13. Многогранник. Вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы, пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды.

14. Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, радиус, диаметр сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

15. Вписанные и описанные фигуры в пространстве. Сечение фигуры плоскостью.

16. Площадь поверхности и объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

17. Координатная прямая. Числовые промежутки. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Векторы. Операции над векторами.

Образцы вариантов контрольной работы (вариант № 01 дополнительное вступительное испытание) и тестового задания (вариант № 02 для поступающих по вступительным испытаниям) из материалов вступительных испытаний по математике в Воронежский институт ФСИН России.

Вариант № 01

1. Найти область определения функции:

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

3. Упростить тригонометрическое выражение:

4. Геометрическая задача на плоскости:

Вершины В и С (см. рис.) при основании равнобедренного треугольника АВС соединены прямыми с серединой О его высоты, проведенной из вершины А. Эти прямые пересекают боковые стороны АС и АВ треугольника в точках D и E. Найти площадь четырехугольника AEOD, если площадь треугольника АВС равна S.

5. Геометрическая задача в пространстве:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ , у которого AB = 4, BC = 6, CC₁ = 4, найдите тангенс угла между плоскостями CDD₁ и BDA₁ .

6. Решить систему:

Вариант № 02

БЛОК «А»

1.Величина х = 325 уменьшена на 68 %. Чему теперь примерно равна величина х ?

Ответ: _______________

2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной.

Ответ: ______________

3. Вычислите:

Ответ: ______________

4. Найти корень уравнения:

Ответ: ______________

5. Упростите:

Ответ: ______________

6.Решить систему уравнений методом Гаусса:

Ответ: ______________

7.Найти корни квадратного уравнения:

Ответ: ______________

8. Решить уравнение:

Ответ: ______________

БЛОК «В»

1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что CC₁ = 9, АВ = 2, B₁C₁ = 6. Найти длину диагонали BD₁ .

Ответ: _____________

2. Найти корень уравнения: log₂(15 + x) = log₂3

Ответ: ________­_____

3. Найти значение выражения:

Ответ: ____________

4. Найти точки пересечения кривых: и

Ответ: ____________

5. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: ___________

6. Для транспортировки 45 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

Перевозчик	Стоимость перевозки одним автомобилем (руб. на 100 км)	Грузоподъемность автомобилей (тонн)
А		3,5
Б
В

Ответ: __________

БЛОК «C»

1. Решить систему уравнений:

Ответ: __________

2. Сторона основания правильной треугольной призмы BCA₁B₁C₁равна 2, а диагональ боковой грани равна 5. Найдите тангенс угла между плоскостью A₁BC и плоскостью основания призмы.

Ответ: __________

3.Найдите все пары чисел (x, y), удовлетворяющие системе: