Канонічні рівняння методу сил

Додаткові рівняння переміщень, що виражають рівність нулю переміщень (лінійних чи кутових) у напрямках зайвих невідомих, зручно складати в так званій канонічній формі, тобто за певною закономірністю.

Спочатку розглянемо систему, один раз статично невизначувану (рис. 17а). Як зайву невідому виберемо шарнірно-рухому опору В. Тоді, навантаживши основну систему заданим навантаженням і зайвою невідомою силою (рис.17б), прирівняємо до нуля повне переміщення точки В основної системи в напрямі :

(2.1)

Обчислюючи , застосуємо принцип незалежності дії сил:

де – переміщення від заданого навантаження (рис. 17в);

– переміщення від сили .

Якщо – переміщення в напрямі від сили (рис.17г), то , і рівняння переміщень (2.1) набирає вигляду:

(2.2)

Це канонічна форма рівняння переміщень для один раз статично невизначуваної системи.

Для системи з двома зайвими зв’язками додаткові рівняння мають вигляд: де – повне переміщення в напрямі від заданого навантаження та зайвих невідомих сил і ; – повне переміщення в напрямі від заданого навантаження та зайвих невідомих сил і .

Виходячи з принципу незалежності дії сил, запишемо переміщення та у вигляді сум переміщень, спричинених окремо кожною з невідомих сил , та заданим навантаженням . Використовуючи вибрані раніше позначення переміщень, знаходимо:

(2.3)

За аналогією можна записати в канонічній формі рівняння переміщень для будь-якої n разів статично невизначуваної системи:

(2.4)

Повне переміщення можна визначити як добуток питомого переміщення , спричиненого дією одиничної сили, на відповідну узагальнену силу – .

(2.5)

Система канонічних рівнянь методу сил для загального випадку навантаження має вигляд:

(2.6)

де – кількість зайвих зв'язків (ступінь статичної невизначуваності) системи.

Коефіцієнти рівнянь (2.6) являють собою лінійні зміщення та кути повороту в основній (статично визначуваній) системі від дії сил і моментів , доданих по напрямкам невідомих зусиль. Вільні члени визначають відповідні переміщення, викликані заданим зовнішнім навантаженням.

Коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь (2.6) обчислюються за допомогою інтегралу Мора, що представляється в загальному випадку формулою[1].

(2.7)

де складання проводиться по усім дільницям пружної системи.

В прийнятій системі координат (вісь співпадає з віссю стержня, а і – головні центральні осі поперечного перерізу) крутний момент і згинальні моменти і , поздовжня та поперечні сили і є сукупністю проекцій головного вектору і головного моменту сил в довільному перерізі стержня.

При застосуванні графоаналітичних методів для визначення інтегралів Мора (2.7) необхідно мати відповідні епюри від одиничних навантажень , які будують для основної системи навантаженою тільки силами кожною окремо.

Епюри , будують також для основної системи, але від заданого зовнішнього навантаження. Ординати епюр згинальних моментів відкладають з боку стислого волокна.

Для багатопрольотної балки відмінними від нуля внутрішніми зусиллями вважати згинальний момент та поперечну силу.

Для плоскої рами - згинальний момент, поперечну і поздовжню сили.

Згідно з п.1.1, на підставі формули (2.7) знаходимо

(2.8)

Питомі переміщення, що мають однакові індекси й називаються головними коефіцієнтами канонічних рівнянь, визначають таким чином

(2.9)

Очевидно, що ці переміщення додатні.

Питомі переміщення, в яких індекси не однакові, називають побічними коефіцієнтами й визначають за формулою

(2.10)

Вони можуть бути додатними або від’ємними, а також дорівнювати нулю.

На підставі теореми про взаємність переміщень [1].

Плоскопросторові рами являють собою особливий клас стержньових конструкцій, у яких плоска рамна система навантажена силами, діючими в площинах, не співпадаючих з площиною самої рами .

Очевидно, що при дії сил, перпендикулярних площині рами (рис. 18), відмінними від нуля внутрішніми зусиллями в перерізі рами є

Якщо ж площина дії зовнішніх сил співпадає з площиною рами, відмінними від нуля є

Оскільки будь-яке зовнішнє навантаження можна розкласти на дві складові, одна з яких розміщена в площині рами , а інша – в перпендикулярній площині , ці невідомі поділяються на дві самостійні групи і можуть бути визначені незалежно друг від друга.

Таким чином, система канонічних рівнянь (2.6) для плоскопросторової рами в загальному випадку розпадається на дві незалежні системи:

(2.11)

Де – невідомі зусилля і моменти, діючі в площинах, ортогональних до площини рами;

– невідомі і моменти, що лежать в площині рами.

В випадку, якщо зовнішнє навантаження є антиплоским , , вільні члени системи (2.11) звертаються в нуль, що призводить до нульових рішень для зусиль в площині рами.

Отже, для плоскопросторових рам, навантажених ортогонально до її площини, ступінь статичної невизначуваності визначається числом додаткових зв'язків, накладених на раму в площині дії зовнішнього навантаження. Відмінними від нуля невідомими є зусилля, що призводять до появи згинальних і крутних моментів в площинах, перпендикулярних площині рами, причому нехтуємо впливом поздовжніх та поперечних сил:

(2.12)

Значення коефіцієнтів канонічних рівнянь, як показують вирази (2.7), залежать від співвідношення згинальних , та крутної жорсткостей поперечних перерізів стержньової системи та довжин відповідних ділянок стержня.

Якщо рама зібрана з прямолінійних стержнів постійної згинальної і крутної жорсткості, то безпосереднє інтегрування в формулі Мора можна замінити перемноженням епюр по способу Верещагіна (1.8).