Вектори у декартовій системі координат
У прямокутній декартовій системі координат розглянемо довільний вектор (рис. .6).
Вектор називають полярним радіусом-вектором точки М. Спроектуємо цей вектор на координатні осі. Інакше кажучи, розкладемо вектор на складові вектори за координатними осями. Як показано на рис. 2.6 точки – проекції точки на відповідні координатні осі.
Вектори – складові вектора за відповідними координатними осями.
Рис. 2.6 |
Вектор є сумою векторів , тобто
. | (2.3) |
Кожний з цих складових векторів можна надати у вигляді: , , , де – базисні вектори декартової системи координат у просторі. Підставляючи ці значення в (2.3), одержуємо:
, | (2.4) |
де – скалярні величини, які називаються координатами радіус-вектора у заданому базисі.
Точка має координати свого радіус-вектора , тобто . Координати точки у просторі або її радіус-вектор однозначно вказують на її положення в просторі відносно вибраної системи координат.
Довільний вектор можна надати у вигляді:
. | (2.5) |
Подання вектора у вигляді суми компонентів (2.5) називається розкладанням вектора за координатним базисом(рис. 2.7).
Довжина (модуль) вектора визначається за формулою
. | (2.6) |
Рис. 2.7 |
На рисунку 2.7 вектор утворює з координатними осями кути відповідно. Тоді називаються напрямними косинусами вектора . Очевидно, напрямні косинуси та модуль вектора повністю визначають положення вектора у просторі. Враховуючи властивості проекції вектора на вісь, маємо:
, , ; | (2.7) |
(2.8) |
Лінійні операції над векторами у координатній формі:
Дано вектори та :
1) додавання та віднімання
; | (2.9) |
; | (2.10) |
2) множення вектора на скаляр
. | (2.11) |
Умови колінеарності двох векторів та визначаються співвідношенням
. | (2.12) |
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком двох векторів та (рис. 2.8) називається скаляр, який дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними:
. | (2.13) |
Рис. 2.8 |
Фізичне тлумачення скалярного добутку двох векторів полягає в тому, що такий добуток являє собою роботу, виконану при переміщенні матеріальної точки під дією одного вектора вздовж другого.
Беручи до уваги властивості проекції вектора на вісь, маємо (рис. 2.9)
. | (2.14) |
Властивості скалярного добутку векторів:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) , якщо ;
6) добутки ортів , .
Якщо вектори задані в координатній формі та , то скалярний добуток векторів можна записати у вигляді (2.15)
. | (2.15) |
Основні задачі, які розв’язуються з використанням скалярного добутку векторів:
1) довжина вектора
; | (2.16) |
2) косинус кута між векторами
; | (2.17) |
3) проекція вектора на інший вектор
; | (2.18) |
4) умова перпендикулярності