Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Задача.

Докажите что биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника при пересечении образуют угол 45.

Решение.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол С в данном случае прямой, то сумма двух оставшихся углов составляет 180 - 90 = 90 градусов.

Поскольку BM и AN - биссектрисы, а сумма их градусных мер составляет 90 градусов, то сумма половин этих углов ( KAB и KBA) составляет 90 / 2 = 45 градусов. Таким образом, величина угла AKB в треугольнике AKB составляет 180 - 45 = 135 градусов.

Соответственно, величина угла MKA равна 180 -135 = 45 градусов. То есть биссектрисы прямоугольного треугольника образуют угол 45 градусов.

Таким образом, при пересечении биссектрисы прямоугольного треугольника образуют углы 45 и 135 градусов.

Применение теоремы Пифагора

Задача.
На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Решение.
Составим схему задачи.

Поскольку ели растут вертикально, то AEB и DEC - прямоугольные треугольники.
Откуда
AB² + AE² = BE²
CD² + DE² = CE²

Поскольку птицы должны быть в равных условиях, то BE = CE, откуда
AB² + AE² = CD² + DE²

Из условия задачи мы знаем, что AB = 4, а CD = 6 (или наоборот, что не имеет значения), тогда
AE² + 4² = DE² + 6²
AE² + 16 = DE² + 36

Поскольку, по условию задачи AE + DE = 10, то
AE = 10 - DE
тогда

( 10 - DE )² + 16 = DE² + 36
100 - 20DE + DE² + 16 = DE² + 36
80 = 20DE
DE = 4

Откуда AE = 10 - 4 = 6

Исходя из этого, поскольку
AB² + AE² = BE²
4² + 6² = BE²
BE² = 52
BE = 2√13

Таким образом, расстояние между воронами 2√13 м

Ответ: BE = 2√13 м

Высота в прямоугольном треугольнике

Задача.
В треугольнике ABC угол С - прямой. Перпендикуляр CD равен 6 см. AD на 2 см. больше BD. Площадь треугольника ABC равна 180 см в кв. Найти чему равны AC и BС.

Решение.

Пусть BD = x, тогда AD = x + 2

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC . Поскольку CD - высота, то оба эти треугольника также прямоугольные. Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь треугольника ABC будет равна:

CD * AD / 2 + CD * BD / 2 = 180

Подставим известные значения и обозначения переменной х.

6 ( x + 2 ) / 2 + 6x / 2 = 180
3 ( x + 2 ) + 3x = 180
6x + 6 = 180
6x = 174
x = 29

Таким образом, BD = 29, AD = BD + 2 = 29 + 2 = 31

По теореме Пифагора вычислим длину AC и BC.

BC² = CD² + BD²
AC² = CD² + AD²

откуда

BC² = 29² + 6²
AC² = 31² + 6²

AB = √877
AC = √997

Ответ: √877 и √997

Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2)

Примечание. См. также формулы площади треугольника.

Задача

Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых углов равен α. Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

Решение.

Площадь треугольника (S) будет равна:
S = 1/2 CD * AB

Пусть угол А равен α. Тогда
AC = AB cos α
(По определению косинуса cos α = AC /AB)

Рассмотрим треугольник ADC. Поскольку CD - высота, опущенная на гипотенузу, то угол CDA - прямой. Таким образом
CD = AC sin α

поскольку AC = AB cos α, то
CD = AB cos α sin α
откуда
AB = CD / ( cos α sin α )

Вернемся к изначальной формуле площади прямоугольного треугольника и подставим в нее найденные значения.
S = 1/2 CD * AB
S = 1/2 CD * CD / ( cos α sin α )
S = 1/2 CD² / ( cos α sin α )

Поскольку все значения, кроме высоты CD треугольника нам известны, выразим высоту из формулы площади прямоугольного треугольника.
CD² = 2S cos α sin α
или
CD = √ ( 2S cos α sin α )