Основные этапы подготовки измерительного эксперимента

Лекция 7.

ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ: ПОДГОТОВКА И ПРОВЕДЕНИЕ

Как и любой другой эксперимент, измерения должны осуществляться с наибольшей эффективностью при минимальных затратах материальных средств и времени. Этого можно добиться только при условии внимательного подхода к подготовке и организации проведения измерительного эксперимента. Предопределяющее влияние на решение возникающих при этом вопросов оказывает цель измерений, которая, в свою очередь, определяется целями и задачами исследований, испытаний и пр., важной составной частью которых являются измерения физических величин. В процессе подготовки должны быть определены требования к точности измерений, составу и характеристикам привлекаемых технических средств, а также методы, общие и частные методики измерений. Все эти вопросы прорабатываются с точки зрения наибольшей эффективности измерений с привлечением теории планирования эксперимента. Результаты проработки составляют содержание программы измерений.

Основные этапы подготовки измерительного эксперимента

Первым прорабатывается вопрос о предварительной модели объекта. При этом должна привлекаться вся имеющаяся в распоряжении информация. Если, например, объектом измерения является сигнал в виде изменения физической величины во времени, то нужно учитывать сведения не только о диапазоне возможных значений величины, но и о форме кривой, частоте, о других неинформативных параметрах. Должна использоваться имеющаяся априорная информация о статистических характеристиках объекта измерения. В случае, если возникает сомнение в адекватности выбранной модели, то следует провести предварительно дополнительные измерения и уточнить модель либо выбрать средство измерения, не реагирующее на отклонения одного или нескольких неинформативных параметров объекта измерения.

При определении модели объекта возможны варианты. Выбор того или другого из них определяется целью, задачами и условиями измерений. Если, например, измеряется высокочастотный сигнал, то следует принимать во внимание поверхностный эффект, собственную индуктивность и емкость элементов и пр. Правильный выбор модели позволит адекватно оценить результаты измерений и получить необходимую точность.

Следующий этап подготовки - обоснование необходимой точности эксперимента. Проработка этого вопроса должна вестись с учетом поставленной цели измерений при ряде ограничений, связанных с техническими возможностями, материальными и временными затратами и пр. Не следует стремиться к получению результата с максимальной возможной точностью, к получению "запаса" по точности. Точность измерений должна соответствовать их основной цели. Избыточность по точности ведет к необоснованному усложнению и удорожанию эксперимента.

Точность эксперимента во многом определяется выбором метода, средств и условиями измерений. Задача решается перебором возможных вариантов состава и степени влияния составляющих суммарной погрешности, которая должна не превышать заданного значения. Принимается вариант, в наибольшей степени удовлетворяющий требованиям удобства, простоты при соблюдении необходимой точности.

Важным этапом подготовки измерительного эксперимента является разработка методики проведения эксперимента, под которой понимается совокупность действий с использованием различных способов и средств, обеспечивающих измерения с необходимой точностью. В число средств, задействуемых согласно методике, входят не только средства измерений, но и вычислительные и различные вспомогательные средства. Особое место при разработке методики занимает выбор вида измерений: прямых, косвенных, совместных или совокупных, а также метода измерений: непосредственной оценки, сравнения с мерой и т.д. Решается также вопрос, производится ли одно- или многократные измерения.

В результате данного этапа подготовки эксперимента разрабатывается схема измерений, план проведения эксперимента (вопрос составления оптимального плана на основе теории планирования эксперимента рассматривается в 7.2), подготавливается методика обработки результатов наблюдений и оценки влияния условия измерений на их результаты.

Необходимым этапом подготовки измерительного эксперимента является выбор средств измерений. Используемые в эксперименте средства измерений должны соответствовать принятым моделям, измеряемым величинам, целям и условиям проведения эксперимента. Возможны варианты, связанные с необходимостью автоматической регистрации результатов наблюдений, представления результатов в аналоговой или цифровой форме, ввода полученной измерительной информации в ЭВМ и пр. Однако каждый из вариантов должен прорабатываться на соответствие метрологических характеристик используемого средства измерений установленным требованиями по точности и их влиянию на результаты измерений. Среди факторов, учитываемых при выборе СИ, назовем следующие: воздействие средства измерений на объект; неполная адекватность принятой модели объекта измерения; погрешности, вносимые средствами измерений (пределы измерений); частотный диапазон.

Воздействие СИ на объект проявляется в большей степени в тех случаях, когда отсутствует согласование между ними по мощности. Измеряемая величина вследствие влияния средства измерений может претерпеть заметные искажения, что приведет к неверному результату эксперимента. Чем меньше мощность, потребляемая средством измерений от объекта (или выделяемая на объекте), тем меньше искажения. Относительная погрешность, вызванная влиянием средства измерений на объект измерения, приблизительно оценивается по формуле

, (9.1)

где Р_си - мощность, потребляемая средством измерений, Р - мощность объекта измерения.

Аналогичным образом можно оценить влияние мощности, выделяемой средством измерения на объекте измерения (например, искажения вследствие нагрева измерительным током).

Неполная адекватность принятой модели объекту измерения проявляется в том, что показания средства измерений зависят от неинформативных параметров принятой модели измеряемой величины. Типичный пример - влияние на результат измерения отклонений формы кривой сигнала от синусоидальной. Естественно, во избежание такого влияния следует из возможных вариантов средств измерений предпочесть такой, который не реагирует на форму кривой сигнала. При отсутствии такового следует учитывать наличие погрешности измерения от неадекватности модели.

Погрешности, вносимые средствами измерений, часто являются основными составляющими погрешности результата измерений. Для оценки погрешности средства измерений используются их нормированные метрологические характеристики. Следует, однако, помнить что не всегда та или иная метрологическая характеристика достаточно полно отражает точностные свойства данного экземпляра средства измерений. Например, такая обобщенная характеристика точности средства измерений, как класс точности, дающая возможность судить о том, в каких пределах находится погрешность СИ этого класса, не является непосредственным показателем точности измерений, выполняемых с помощью каждого этих средств. Для выявления действительных точностных средств данного экземпляра СИ можно провести его предварительную поверку с целью выявления систематической погрешности и определения поправок для его различных показаний. Введением поправок в процессе измерения исключаются систематические погрешности, что равносильно повышению точности средства измерений, уменьшается потребность использования более дорогостоящих высокоточных измерителей. При выборе средства измерений следует учитывать влияние внешних факторов. Этот вопрос может решаться либо использованием одного из методов адаптации (см. главу 8), либо организацией контроля значений одного или нескольких внешних влияющих факторов и соответствующей коррекцией результатов измерений. И в том, и другом случае должно быть предусмотрено расширение состава используемых средств измерений.

Пределы измерений используемых СИ следует выбирать такими, чтобы ожидаемые показания находились ближе к верхнему пределу. Это связано с тем, что у многих средств измерений погрешность минимальна на верхнем пределе измерений.

Частотный диапазон выбираемых СИ должен быть шире частотного спектра входных сигналов, чтобы обеспечивать их неискаженное прохождение. Вместе с тем, расширения частотного диапазона увеличивает возможность прохождения помехи и, как следствие, появления связанной с этим погрешности измерения. При наличии возможности влияния помех при эксперименте частотный диапазон выбираемых средств измерений должен быть возможно более узким, но без ущерба для прохождения сигнала. Кроме рассмотренных возможны и другие критерии выбора средств измерений, например, требования к быстродействию, к конструкции и др.

Одним из основных разделов методики проведения измерительного эксперимента должен быть раздел, посвященный обработке результатов измерений (наблюдений) с целью установления значений измеряемой величины и оценки погрешности полученного результата измерения.

Применяются различные методы обработки результатов наблюдений; некоторые из них рассмотрены подробно в главе 6. Применение того или другого метода определяется наличием предварительной информации, которой располагает экспериментатор об источниках и характере проявления погрешностей, условиях эксперимента, свойствах используемых средств и вида измерений, числа выполненных наблюдений и пр.

Общие вопросы оптимального планирования измерительного эксперимента

Задачи оптимального планирования измерительного эксперимента наиболее эффективно решаются на основе сравнительно недавно сформировавшегося научного направления - теории планирования эксперимента.

Под планом эксперимента - понимается совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Под словом опыт в данном случае имеется в виду отдельная, элементарная часть эксперимента. Соответственно, понятие планирование эксперимента, определяемое как процесс разработки плана эксперимента, включает в себя все, что делается по разработке стратегии экспериментирования от начальных до заключительных этапов изучения объекта исследования, т.е. от получения априорной информации до создания работоспособной математической модели объекта исследования или определения оптимальных условий. Планирование способствует значительной интенсификации труда исследователя и сокращению затрат на эксперимент, повышению достоверности полученных результатов исследования.

Целью планирования является оптимизация плана эксперимента, т.е. выбор из нескольких возможных планов одного в определенном смысле наилучшего. Оптимизация осуществляется путем сравнения различных планов с использованием принятых критериев сравнения или целевой функции. Теория эксперимента помогает: наилучшим образом организовать эксперимент; выбрать способ обработки результатов, позволяющий получить максимальное количество информации об исследуемом объекте; сделать обоснованные выводы по результатам эксперимента.

Основным математическим аппаратом теории планирования эксперимента является теория вероятностей и математическая статистика.

Теория предполагает, что эксперимент может быть пассивным и активным. При пассивном эксперименте информация об исследуемом объекте накапливается путем пассивного наблюдения, т.е. информацию получают в условиях обычного функционирования объекта. Активный эксперимент проводится с применением искусственного воздействия на объект по специальной программе.

Активный эксперимент позволяет быстрее и эффективнее решать задачи исследования, но более сложен, требует больших материальных затрат и может помешать нормальному ходу технологического процесса. Иногда отсутствует возможность проведения активного эксперимента (например, при исследовании явлений природы). Тем не менее, учитывая преимущества активного эксперимента, тогда, когда это возможно, предпочтение отдают активному эксперименту.

В теории планирования эксперимента объект исследования представляется структурной схемой в виде "черного ящика", состояние которого характеризуется выходными параметрами, реагирующими на внешние управляющие (входные) и возмущающие воздействия. Одной из главных задач эксперимента является получение математической модели объекта, описывающей в количественной форме взаимосвязи между входными и выходными параметрами объекта. Входные параметры, которые могут быть изменены, называют факторами. Для каждого фактора до измерения устанавливается область определения, которая может быть непрерывной и дискретной. Часто непрерывная область определения искусственно дискретизируется. При активном эксперименте факторы должны быть управляемыми и независимыми.

Многомерное факторное пространство представляется множеством точек, каждая из которых соответствует определенной комбинации факторов. Область возможных комбинаций факторов называется областью возможных (допустимых) планов эксперимента.

Вектор, образуемый выходными параметрами-характеристиками свойств или качеств объекта, называют откликом, а зависимость отклика от рассматриваемых факторов - функцией отклика. Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве называют поверхностью отклика. Функцию отклика называют также целевой функцией, имея в виду, что при планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является критерием оптимальности.

Планирование эксперимента проводится в несколько этапов:

· постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств, установление типа задачи);

· сбор априорной информации (получение литературы, опрос специалистов и т.п.);

· выбор способа решения и стратегии его реализации (установление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых нестандартных технических средств, формулировка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов программ обработки экспериментальных данных).

Планирование пассивного эксперимента

При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя. Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов измерений.

Наиболее часто целью пассивного эксперимента является построение математической модели объекта, которая может рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие объекты называют детерминированными. Плохо организованные или диффузные объекты представляют собой статистические модели. Методы исследования с использованием таких моделей не требуют детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в объекте.

Рис 9.1. График регрессионной зависимости y от х

Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра х и соответствующих значений выходного параметра y. Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости математического ожидания y от значения х, носящей название регрессионной. Соответствующая линия А В показана на графике (рис.9.1).

Целью однофакторного пассивного эксперимента является построение регрессионной модели. Следует отметить, что регрессионная модель является приближенной оценкой истинной регрессионной зависимости. Для построения модели следует провести обоснованный выбор аппроксимирующей функции. Критериями выбора являются простота, удобство пользования, обеспечение требуемой точности аппроксимации, адекватность. Адекватная регрессионная модель позволяет предсказывать с требуемой точностью значения выходной величины в некоторой области значений входной.

Нередко для выбора аппроксимирующей функции пользуются кривой регрессионной зависимости, проведенной "на глаз".

Чаще всего регрессионная модель представляется с помощью аппроксимирующей функцией в виде полинома

. (9.2)

Приняв такую модель, следует определиться в порядке полинома, после чего вычислить параметры а₁, а₂ ,…,а_м., воспользовавшись методом, рассмотренным в параграфе 6.1.

В общем случае результаты измерения l_i значения выходной величины и ее значения y_i определяемые регрессионной зависимостью от входного фактора x_i, не совпадают, т.е. отлична от нуля разность D_i=l_i-y_i, что связано с наличием погрешности измерения и возмущающих воздействий. Обычно считают, что D_i не зависит от значения y (т.е. аддитивна) и подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием.

Если выполнено n измерений, то их результаты можно записать в виде:

(9.3)

Система уравнений (9.3) линейна относительно a_j. Для нахождения оценок a_j из условия минимума D_j необходимо добиться равенства нулю всех частных производных функций по a_j. Получим систему нормальных уравнений:

(j=1,2,…,m). (9.4)

Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных a_j и записав уравнения системы (9.4) в стандартном виде можно вычислить искомые параметры a_j методом определителей.

Многофакторный пассивный эксперимент дает n значений выходного параметра y объекта, соответствующих измерениям n совокупностей значений выходных параметров:

x₁₁, x₁₂ ,…, x_1k;

x₂₁, x₂₂ ,…, x_2k;

.……...............

x_n1, x_n2 ,…, x_nk.,

где x_ij - значение j входного параметра в i-м измерении (j=1,2,...,n).

В качестве регрессионной модели примем линейный многочлен вида

у = а₀ + а₁х₁ +a₂x₂+ …+ а_kх_k. (9.5)

Заменим переменные их центрированными значениями:

Тогда модель принимает вид

. (9.6)

На основе (9.6) составляется система нормальных уравнений вида (9.4) (с заменой m на k) и вычисляются оценки параметров . Затем вычисляется оценка

и осуществляется переход к исходной модели (9.5).

Планирование активного эксперимента

Активный эксперимент предполагает возможность воздействия на ход процесса и выбора в каждом опыте уровней факторов. При планировании активного эксперимента решается задача рационального выбора факторов, существенно влияющих на объект исследования, и определения соответствующего числа проводимых опытов [23,24]. Увеличение числа включенных в рассмотрение факторов приводит к резкому возрастанию числа опытов, уменьшение - к существенному увеличению погрешности опыта. Фактор считается заданным только тогда, когда при его выборе указывается его область определения – совокупность значений, которые может принимать данный фактор. В эксперименте используется ограниченная часть области определения, задаваемая обычно в виде дискретного множества уровней. Выбранные факторы должны быть однозначно управляемыми и операциональными, т.е. поддающимися регулированию с поддержанием на заданном уровне в течение всего опыта при соблюдении последовательности необходимых для этого действий. Должна быть назначена также точность измерения факторов в выбранном диапазоне измерения.

Совокупности факторов должны отвечать требованиям совместимости и независимости. Соблюдение первого требования означает, что все комбинации факторов осуществимы и безопасны, второго - возможность установления фактора на любом уровне независимо от уровней других факторов.

При планировании многофакторного активного эксперимента решаются типичные задачи математической статистики: выбор стратегии эксперимента в условиях неопределенности, обработка результатов измерений, проверка гипотез и принятие решений. При этом важное значение имеет выбор математической модели объекта, в качестве которых чаще всего используются полиномиальные аппроксимации.

Важным этапом, предшествующим планированию эксперимента, является выбор локальной области факторного пространства. Для этого должны быть оценены границы областей определения факторов с учетом ограничений нескольких типов.

К первому типу относятся ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Ко второму типу относятся ограничения технико-экономического характера. Третий тип ограничений, чаще всего встречающийся, - ограничения, накладываемые конкретными условиями проведения эксперимента.

Решение вопросов, связанных с определением локальной области факторного пространства, должно базироваться на результатах тщательного анализа априорной информации в виде сведений о выходной величине, факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика. Такая информация может содержаться в результатах проведенных ранее однофакторных экспериментов, в литературных источниках.

Сама процедура определения локальной области факторного пространства состоит из двух этапов: выбор основного уровня и выбор интервалов варьирования.

За основной (нулевой) уровень принимается точка в многомерном факторном пространстве, принятая за исходную для построения плана эксперимента. Такой точкой является оптимальная комбинация уровней факторов, установленная в результате анализа априорной информации.

Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание - нижний. Таким образом, выбрав интервал варьирования, определяют крайние уровни факторов. При планировании масштабы данных по осям принимаются такими, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний - -1, основной - 0.

Если область определения фактора непрерывна, выбор масштаба производится согласно формуле

888 _,(9.7)

где x_j - кодированное значение фактора; , - натуральные значения основного фактора и основного уровня; I_j - интервал варьирования; j - номер фактора.

B табл.9.1 приведен пример кодированных значений для одного фактора, рассчитанных по формуле (9.7).

Интервал варьирования не может быть меньше погрешности измерения фактора и больше пределов области определения.

Таблица 9.1. Кодированные значения фактора при I=2

Натуральные значения
Кодированные значения	х1	-1	-0,5		+0,5	+1

При выборе интервала варьирования используют априорную информацию, содержащую сведения о точности измерения факторов, кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения выходной величины. Однако в виду того, что такая информация может оказаться не всегда достоверной, в ходе эксперимента ее нередко приходится корректировать.

7.5. Планирование полного факторного эксперимента

Полный факторный эксперимент характеризуется тем, что число уровней каждого фактора равно двум. При соблюдении этого условия число N опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов

N = 2^k,

где k - число факторов.

План эксперимента для двух- и трехфакторных функций отклика может быть изображен в виде графика, называемого факторным пространством. На рис.9.2 показан в факторном пространстве симметричный двухуровневый план для двухфакторной функции отклика y=f(x₁x₂) при нейтральном (рис.9.2,а) и нормированном (рис.9.2,б) представлении уровней факторов. Здесь , - искомые натуральные уровни факторов, - нижние, - верхние уровни, , - интервалы варьирования.

Рис.9.2. Симметричный двухуровневый план

для двухфакторной функции отклика

Согласно такому плану эксперимента должно быть проведено четыре опыта. Условия эксперимента также записываются в виде таблиц, называемых матрицами (репликами) планирования. Каждый столбик матрицы называют вектор-столбцом, а каждую строку – вектор-строкой (табл.9.2).

Таблица 9.2. Матрица планирования 2²

Номер опыта	х1	х2	y
	-1	-1	y1
	+1	-1	y2
	-1	+1	y3
	+1	+1	y4

При построении матрицы 2² комбинации уровней находятся прямым перебором. Если количество факторов более двух, используют три приема перехода от матрицы меньшей размерности к матрицам большей размерности.

При выполнении первых двух приемов сначала строится матрица 2², а затем – матрица 2³ (табл.9.3) и большей размерности.

Таблица 9.3. Матрица планирования 2³

Номер опыта	х1	х2	х3	у
	-1	-1	-1	у1
	+1	-1	-1	у2
	-1	+1	-1	у3
	+1	+1	-1	у4
	-1	-1	+1	у5
	+1	-1	+1	у6
	-1	+1	+1	у7
	+1	+1	+1	у8

Первый прием основан на том, что при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней, имеющихся в матрице меньшей размерности, в матрице большей размерности встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями нового фактора. Поэтому сначала описывается исходный план для одного уровня фактора, а затем он повторяется для другого уровня (см. табл. 9.3).

Второй прием основан на построчном перемножении двух столбцов согласно правилу знаков: одноименные знаки перед единицей при перемножении дают +1, разноименные - -1. После перемножения получается вектор-столбец произведений х₁х₂ в исходном плане. Затем исходный план продлевается по числу опытов вдвое путем повторения предыдущего исходного плана (включая столбец х₁х₂). Далее удлиненный вдвое исходный план вновь повторяется, но вместо столбца произведений записывается столбец добавленного фактора х₃ с изменением на противоположные знаки столбца х₁х₂. Этот прием несколько сложней, чем первый.

Третий прием основан на правиле чередования знаков. В матрице, включающей 2^к опытов, знаки первого столбца меняются поочередно, знаки второго столбца - через два, третьего - через четыре, четвертого - через восемь и т.д. по степеням двойки.

Матрица планирования эксперимента обладает четырьмя общими свойствами. Два свойства относятся к особенностям построения вектор-столбцов и следуют непосредственно из правил построения матрицы.

Первое свойство - симметричность относительно центра эксперимента – проявляется в правиле: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, т.е. , где j - номер фактора, i - номер опыта, N - число опытов.

Второе свойство (условие нормировки): сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов, т.е. .

Два других свойства относятся к совокупности столбцов матрицы.

Третье свойство (ортогональность матрицы): сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, т.е. , j¹n.

Четвертое свойство (ротабельность): точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказаний значений выходного параметра на основании математической модели одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Если матрица обладает всеми четырьмя свойствами, то она составлена правильно.

Рассмотрим вопрос об оценке коэффициентов линейной модели, считая, что задачей эксперимента является проверка гипотезы об адекватности модели

у_и = a_0и + a_1и x₁ + a_2и x_2.

Индекс и обозначает истинное значение неизвестной.

Поскольку эксперимент содержит конечное число опытов, то после их проведения можно получить только оценки для коэффициентов модели

y = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂.

После проведения опытов неизвестными величинами в этом выражении будут только коэффициенты a₀, a₁, a₂. Для N опытов можно составить систему линейных условных уравнений. После ее решения методом наименьших квадратов определяются оценки коэффициентов:

. (9.8)

Так, при N=4 получим:

a₁ = [(-1)y₁ + (+1)y₂ +(-1)y₃ +(+1)y₄] / 4;

a₂ = [(-1)y₁ + (-1)y₂ +(+1)y₃ +(+1)y₄] / 4.

Для определения а₀ представим среднее значение в виде

.

Так как матрица обладает свойством симметрии, то , поэтому .

Для того чтобы получить возможность определения а₀ по формуле (9.8), в матрицу вводят фиктивную переменную х₀, которая во всех опытах принимает значение +1. Составленная линейная модель несколько видоизменяется:

у= a₀ х₀ + a₁ x₁ + a₂ x_2.

Положительные коэффициенты при х_ji пропорциональны степени влияния факторов, отрицательные - обратно пропорциональны.

Линейная модель не всегда в полной мере описывает объект исследования. Часто нелинейность связана с взаимным влиянием факторов, и задачей полного факторного эксперимента является установление степени такого взаимодействия. Для этого перемножением столбцов матрицы получают новый столбец произведений двух факторов так, что матрица размерности 2² будет иметь вид, представленный в табл.9.4.

Таблица 9.4. Матрица планирования эксперимента 2² с учетом взаимодействия факторов

Номер опыта	х0	х1	х2	х1х2	у
	+1	-1	-1	+1	у1
	+1	+1	-1	-1	у2
	+1	-1	+1	-1	у3
	+1	+1	+1	+1	у4

С учетом взаимодействия факторов х₁х₂ видоизменяется модель

у= a₀ х₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ + а₁₂х₁х₂. (9.9)

Коэффициент а₁₂ вычисляется также по формуле (9.8):

a₁₂ = [(+1)y₁ + (-1)y₂ +(-1)y₃ +(+1)y₄] / 4.

Чем больше факторов, тем больше число возможных взаимодействий. Так, в матрице планирования 2³ появляются новые вектор-столбцы х₁х₂, х₁х₃, х₂х₃ , характеризующие эффект взаимодействия первого порядка, и столбец х₁х₂,х₃ , - эффект взаимодействия второго порядка. В общем случае эффект взаимодействия максимального порядка имеет порядок на единицу меньше числа факторов. Применяются также такие понятия, как парные эффекты взаимодействия (х₁х₂, х₁х₃, х₂х₃), тройные (х₁х₂х₃, х₃х₄х₅) и т.д.

Суммарное количество коэффициентов (в том числе а₀, линейные эффекты и эффекты взаимодействия) равно числу опытов, проводимых согласно матрице эксперимента. Значения различных коэффициентов независимы друг от друга.

Если модель включает не только линейные эффекты и эффекты взаимодействия, но и квадраты, кубы и т.д. факторов, то подход к оценке коэффициентов несколько иной.

Если, например, при двухфакторном эксперименте заметное влияние имеет квадратичный член, то модель можно записать следующим образом:

у= a₀ х₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂ + а₁₂х₁х₂ + а₁₁х²₁ + а₂₂х²₂ . (9.10)

Если мы захотим построить матрицу планирования эксперимента с добавлением вектор-столбцов х²₁ и х²₂, то получим единичные столбцы, совпадающие друг с другом и со столбцом х₀, в результате чего невозможно определить, за счет чего получилось значение а₀. Полученную для такого случая оценку а₀ называют смешанной, так как она определяется совместными вкладами свободного и квадратичных членов. Соответствующая запись выглядит следующим образом:

.

Для модели (9.10) получается система, состоящая из смешанных и несмешанных оценок:

; a₁® a_1и; a₂® a_2и; a₁₂® a_12и .

Итак, полный факторный эксперимент при варьировании факторов на двух уровнях позволяет оценить линейные эффекты эксперимента.

Планирование дробного факторного эксперимента

Дробный факторный эксперимент, сохраняя все свойства полного факторного эксперимента (симметричность, выполнение условия нормировки, ортогональность), проводится при меньшем числе опытов. Возможность сокращения числа опытов при использовании линейной модели предоставляется в связи с тем, что в полном факторном эксперименте число опытов больше числа коэффициентов модели.

Для пояснения принципа, на котором основано сокращение числа опытов, обратимся к матрице 2² полного факторного эксперимента, представленной в табл.9.4. Использую эту матрицу, можно вычислить четыре коэффициента модели (9.9). Однако при принятом условии линейности модели а₁₂®0 достаточно определить три коэффициента: а₀, а₁, а_3, вектор-столбец х₁х₂ можно использовать для нового фактора х₃.

Если проверить возможность смешивания оценок, то можно заметить, что оно имеет место при различных сочетаниях вектор-столбцов в связи с их совпадением. Однако благодаря тому, что модель линейна, парные взаимодействия незначительны, и взаимодействия практически не влияют на достоверность вычисленных оценок.

Таким образом, оказалось, что для изучения трех факторов достаточно поставить четыре опыта вместо восьми. Сказанное можно обобщить правилом: для сокращения числа опытов новому фактору следует присвоить без изменения знаков вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Матрица 2² (см.табл.9.4) с заменой х₁х₂ на х₃, представляющая собой половину матрицы 2³ полного факторного эксперимента (опыты 5, 2, 3, 8 по табл. 9.3), называется полурепликой. Вторую половину матрицы 2³ с постановкой четырех опытов для оценки влияния трех факторов можно получить, если в матрице 2² х₃ приравнять с обратным знаком к х₁х₂ (опыты 1, 6, 7, 4 по табл.9.3). При объединении двух полуреплик получим полный факторный эксперимент. Каждая из полуреплик может быть использована как для получения оценки линейных эффектов, так и эффектов взаимодействия таким же образом, как и в полном факторном эксперименте 2³. Кроме полуреплик находят применения другие виды дробных реплик (1/4, 1/8, 1/16), каждая из которых имеет две разновидности, которые отличаются числом с линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия, и условным обозначением в виде (табл.9.5).

Таблица 9.5. Характеристика дробных реплик

Число факторов	Дробная реплика	Условное обознач.	Число опытов
для дробных реплик	для полного факторного эксперим.
	1/2 - реплика от 23	23-1
	1/2 - реплика от 24	24-1
	1/4 - реплика от 23	25-2
	1/8 – реплика от 25	26-3
	1/16 - реплика от 26	27-4
	1/2 - реплика от 25	25-1
	1/4 - реплика от 26	26-2
	1/8 - реплика от 27	27-3
	1/16- реплика от 28	28-4

Таким образом, применение дробного факторного эксперимента позволяет существенно сократить число опытов, необходимых для построения модели (16 вместо 256 при восьмифакторном эксперименте). Наиболее целесообразно использовать дробные реплики для получения линейных моделей с большим количеством факторов.