Суммирование погрешностей

Погрешность измерения, как правило, вызывается разнообразными одновременно действующими причинами и поэтому может состоять из большого числа n составляющих. Рассмотрим, как из этих составляющих (считаемых независимыми) формируется результирующая погрешность

.

Каждую из составляющих можно рассматривать как случайную величину, имеющую свой закон распределения. Очевидно, что закон распределения результирующей погрешности является композицией законов распределения составляющих . При этом математическое ожидание и дисперсия распределения результирующей погрешности является суммой соответственно математических ожиданий и дисперсий составляющих

; (2.56)

. (2.57)

Известно, что каждая из составляющих включает в себя две компоненты – случайную и систематическую . Из вероятностного представления погрешности (рис. 2.2) следует, что поскольку , и , то

, (2.58)

. (2.59)

Таким образом, при формировании результирующей погрешности , систематические составляющие суммируются арифметически.

Случайные погрешности характеризуются своими границами , поэтому такой подход к их суммированию применен быть не может. Действительно, как следует из (2.59), границы случайной компоненты результирующей погрешности будут равны

. (2.60)

Если известны не СКО случайных погрешностей , а их границы , то выражение (2.60) можно переписать в следующем виде

. (2.61)

Таким образом, границы суммарной погрешности будут определяться выражением

. (2.62)

Значение доверительного коэффициента в выражениях (2.60) - (2.62) зависит от доверительной вероятности и вида суммарного распределения случайных составляющих погрешности . Последнее зависит от числа случайных составляющих m и их законов распределения (табл. 2.5).

Таблица 2.5 - Границы погрешности и доверительный коэффициент для суммы m случайных погрешностей

Законы распределения
Известны	- определяется для композиции законов распределения	- для нормального закона
Нормальные	- для нормального закона
Неизвестны (считаются равномерными)	- для композиции равномерных законов распределения (табл. 2.6)	- для нормального закона

Для m> 4, независимо от законов распределения , их композиция близка к нормальному закону, поэтому (см. табл.2.1). Композиция нормальных законов распределения для любого m также является нормальным распределением, поэтому

. (2.63)

При неизвестном законе распределения считают, что любое значение погрешности на доверительном интервале равновероятно, поэтому закон распределения всех принимается равномерным. Для равномерного закона (для P = 1), поэтому для m>4

. (2.64)

При доверительный коэффициент определяется для композиции m равновероятных законов распределения, для которой (при равных )

. (2.65)

При m=2 композиция дает треугольное распределение (для ); при m=3 - параболическое распределение (для ) и т.д.

Значения коэффициентов для композиции равномерных законов распределения приведены в табл.2.6.

Таблица 2.6 - Значения для композиции m равномерных
законов распределения

PД	0,9	0,95	0,99	0,9973
m=2	1,675	1,901	2,204	2,332
m=3	1,661	1,937	2,379	2,598
m=4	1,658	1,94	2,445	2,73
(нормальный)	1,64	1,96	2,58

Если неизвестные законы распределения заданы границами , то при m<4

(2.66)

Зависимость коэффициента от доверительной вероятности P_Д и соотношения между погрешностями приведена на рис. 2.18. Как видно из рис. 2.18 максимальное значение достигается при c=1 и равно , где рассчитывается по формуле (2.65) (табл. 2.6).

Для нахождения композиции известных законов распределения p₁, p₂ можно воспользоваться уравнением свертки

, (2.67)

где - переменная интегрирования, имеющая размерность погрешности.

Однако найти решение (2.67) в аналитическом виде можно далеко не всегда. Кроме того, на практике могу быть известны не законы распределения составляющих случайных погрешностей, а их гистограммы, получаемые в результате практических исследований . В этом случае можно найти гистограмму результирующего распределения, воспользовавшись методом перебора, основанном на дискретном представлении выражения (2.67)

Рисунок 2.18 – зависимость от числа слагаемых
и их соотношения

(2.68)

Здесь - ширина столбиков гистограмм; - их высота; - абсциссы середин первых столбиков гистограмм; l, k - число столбиков гистограмм ( ).

Расписывая это уравнение для разных значений , получаем

Таким образом, результирующая гистограмма будет содержать l+k-1 столбиков.

Необходимым условием осуществления метода перебора является одинаковая ширина столбиков гистограмм. В этом случае методика определения гистограммы результирующего распределения сводится к следующим операциям.

1. Гистограмма эмпирических законов распределения, заданные в табличной форме, представляются в виде верхней строки и левого столбца таблицы 2.7.

2. В клетках таблицы, находящихся на пересечении столбца и строки записываются произведения высот столбиков и сумма их абсцисс .

3. Производится суммирование всех произведений , соответствующих одинаковым значениям абсцисс. Эти произведения, как видно из таблицы, находятся на одной диагонали.

4. Полученные суммы умножают на ширину столбика гистограммы и получают значение высот столбиков гистограммы композиции законов распределения, которые представляют в табличной форме аналогично первоначальным гистограммам.

Нахождение композиции законов распределения производится по указанной методике последовательно раз.

Если законы распределения заданы аналитически, то высоты столбиков гистограммы определяется по формуле

. (2.69)

Таблица 2.7 - Таблица для построения гистограмм композиции двух законов распределений

Для простых законов распределения (треугольный, равномерный) можно определять высоты столбиков гистограмм как значения дифференциальной функции распределения в точках, соответствующих серединам столбиков. Однако, для законов распределения с нелинейным изменением плотности вероятности на интервале (например - арксинусное) необходимо прибегать к формуле (2.69), т.к. в противном случае это приведет к существенным погрешностям. Графически результат композиции законов распределения выглядит так, как это показано на рис. 2.19.

Математическое ожидание и дисперсию результирующего закона распределения можно найти по формулам

(2.70)

(2.71)

Границы погрешности можно определить непосредственно из гистограммы, находя границы доверительного интервала, соответствующего заданной доверительной вероятности. Последняя соответствует площади под гистограммой, ограниченной перпендикулярами, возведенными из точек на оси абсцисс, соответствующих границам погрешности (рис. 2.19).

Рисунок 2.19 – Композиция 2-х законов распределения
случайных погрешностей

Контрольные вопросы, задачи, упражнения

1. Перечислите различия между абсолютной, относительной и приведенной погрешностями, укажите их размерность.

2. Получите выражения для границ случайных погрешностей результатов наблюдений для заданной доверительной вероятности Р_д, распределенных по следующим законам: а) равномерному; б) Симпсона; в) нормальному; г) Лапласа; д) арксинуса.

3. Пользуясь методом максимального правдоподобия, получите выражения для эффективной оценки математического ожидания результатов наблюдений , распределенных по следующим законам: а) нормальному; б) Лапласа; в) равномерному.

4. Постройте гистограмму для приведенных ниже результатов многократных наблюдений: 113,4; 111,3; 110,0; 112,2; 111,7; 112,8;112.5; 114,0; 113,6; 113,2.

5. Постройте кумулятивную кривую для числовых данных, приведенных в задании 4.

6. Определите оценки математического ожидания (среднее арифметическое, среднее по размаху, медиану) для результатов наблюдений, приведенных в задании 4.

7. Определите оценки дисперсии и СКО результатов наблюдений, приведенных в задании 4.

8. Определите оценку островершинности (эксцесс) для результатов наблюдений, приведенных в задании 4.

9. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице в виде гистограммы, в которой p_i - высота столбиков, а - координата середины их основания.

Pi	1,25	3,95	3,75	1,25
Xi	1,0	1,1	1,2	1,3

Выскажите гипотезу о виде распределения результатов и проверьте ее справедливость, пользуясь критерием Пирсона для n=36, Р_Д =0,95.

10. Результаты многократных наблюдений представлены в таблице в виде кумулятивной кривой.

F(xi)		0,34	0.5	0,66	1,0
xi	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3

Выскажите гипотезу о виде распределения и проверьте ее справедливость, пользуясь критерием Колмогорова для Р_Д = 0,95 и числе наблюдений n = 40.

11. Пользуясь составным критерием, проверьте подчинение следующих результатов нормальному закону распределения для Р=0,9.

341,8	341,4	344,2
43,1	40,9	40,7
41,4	40,4	42,1
43,2	42,6	42,1
42,2	40,9	41,9
40,8	42,1	42,2
41,2	41,5	34,3

12. Результаты наблюдений распределены по равномерному закону, а их среднее арифметическое - по нормальному. Сколько было проведено наблюдений, если отношение максимумов гистограмм результатов измерений и наблюдений рано 20:1.

13. Пользуясь критерием Райта, определите наличие грубых погрешностей (промахов) в результатах наблюдений, приведенных в задании 12.

14. Пользуясь критерием Смирнова, определите наличие грубых погрешностей (промахов) в результатах наблюдений, приведенных в задании 12 для вероятности 0,95.

15. Постройте композицию двух равномерных законов распределения, заданных в таблицах в виде гистограмм, и оцените математическое ожидание и дисперсию этой композиции.

p1	2,5	2,5	2,5	2,5		p2
Xi	5,2	5,3	5,4	5,5		x2	9,0	9,1	9,2	9,3	9,4

16. Среднеквадратические отклонения двух составляющих случайной погрешности измерения напряжения равны 0,1 В и 0,2 В. Определите границы результирующей погрешности измерения напряжения для доверительной вероятности 0,95, если ее систематическая составляющая равна 0,05 В, а случайные погрешности распределены по равномерному закону.

17. Определите границы результирующей случайной погрешности измерения тока с доверительной вероятностью 0,95, если границы ее составляющих определены с вероятностью 0,9 и равны 0,1 А; 0,2 А и 0,3 А соответственно, а их распределения подчиняются нормальному закону.

19. Результаты наблюдений распределены по нормальному закону. Изобразите в одной системе координат плотность их распределения, также плотность распределения результата измерения с числом наблюдений n=9.

3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерением называется отображение ФВ их значением при помощи эксперимента и расчетов с применением специальных технических средств. Любое измерение включает в себя 3 основных этапа.

1. Подготовка к измерению, содержанием которой является:

а) постановка измерительной задачи;

б) выбор метода и СИТ, их размещение;

в) обеспечение необходимых условий проведения эксперимента.

При этом под методом измерений понимают последовательность операций с использованием СИТ для получения результата измерения.

Метод измерения не стоит путать с принципом измерения, под которым понимают совокупность физических явлений, на которых основаны измерения, например, измерения температуры с использованием термоэлектрического эффекта.

2. Измерительный эксперимент, включающий в себя 3 операции:

а) измерительное преобразование;

б) воспроизведение измеряемой величины единичного размера;

в) сравнение измеряемой величины с единицей измерения.

3. Обработка экспериментальных данных, в результате которой получают значение измеряемой величины и оценку погрешности измерений с заданной вероятностью.

Конкретная реализация перечисленных этапов зависит от вида измерения.

Измерения традиционно разделяются по многим классификационным признакам. Рассмотрим одну из многих среди существующих разновидностей классификации по наиболее существенным традиционным признакам (рис. 3.1).

Рисунок 3.1. Классификация измерений     Рисунок 36. Классификация измерений

Классификация по измеряемым физическим величинам – наиболее громоздка, поскольку в настоящее время их существует более 2000. Наиболее детально разработанная классификация такого рода содержит пять ступеней: области, виды, отрасли, подвиды и разновидности.

Области измерений соответствуют разделам физики (механика, оптика, электричество и т.д.).

Виды измерений определяются непосредственно измеряемыми величинами (измерение температуры, скорости, объема, массы и т.п.).

Отрасли разграничивают виды по диапазонам измерений (например, низкие, высокие, средние температуры, частоты, мощности и т.д.).

Подвиды разграничивают виды измерений в зависимости от особенностей объекта исследований (например, измерение расстояний в астрономии, под водой, толщины пленок, шероховатости и т.д.).

ИЗМЕРЕНИЯ

По измеряемой ФВ