Основные трансцендентные функции
Вычисление неопределенного интеграла | |
Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе | |
Несобственные интегралы первого и второго рода | |
Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода | |
Кратные интегралы | |
Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов | |
Первообразная и производная | |
Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции | |
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле | |
Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы | |
Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций | |
Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда | |
Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций | |
Решение дифференциального уравнения | |
Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа |
Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.
Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.
Также справедливы равенства:
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсомназываются соответственно функции:
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.
Пример. Найти sin(1+2i).
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
Если w = u + iv, то и Arg ew = = v.
Тогда eu = .
Итого:
Для комплексного числа z = a + ib