Взаємне положення прямих в просторі

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

Робочий зошит

для студентів усіх напрямів підготовки

факультету МКТ

Студент групи _______________

___________________________

(Прізвище І.П.)

Київ КНУТД 2014

Нарисна геометрія: Робочий зошит для студентів усіх напрямів підготовки факультету МКТ / упор.: Ю.А. Ковальов, С.А. Плешко, за ред. М.В. Кущ. – К.: КНУТД, 2014. – 86 с.

Упорядники: Ю.А. Ковальов, канд. тех. наук, доцент

С.А. Плешко, канд. тех. наук, доцент

Робота виконана під загальною редакцією канд. тех. наук, професора М.В. Куща.

У роботі використані матеріали канд. тех. наук, доцента В.І. Малиновського та канд. тех. наук, професора О.А. Богушко.

Відповідальний за випуск: завідувач кафедри інженерної механіки д-р тех. наук, професор В.П. Місяць.

Затверджено на засіданні кафедри інженерної механіки.

Протокол № 10 від 07.03.2014 р.

Робочий зошит складений на базі типової програми з нарисної геометрії у відповідності з курсом, що читається в Київському національному університеті технологій та дизайну.

У зошиті, за конкретними темами, наведені задачі для підготовки та виконанню під час практичних занять; наведені умови розрахунково-графічних робіт, настанови по їх оформленню.

Видання розраховане для студентів усіх напрямів підготовки факультету МКТ.

МЕТОДИЧНІ НАСТАНОВИ

Нарисна геометрія вивчається студентами вищих навчальних закладів в перших семестрах навчання і досліджує просторові форми за їх зображеннями на площині. Зображеннями просторових форм користуються представники різних спеціальностей.

Нарисна геометрія має свої певні теоретичні обґрунтування. Тільки систематичне і глибоке вивчення цього курсу сприяє розвитку просторового мислення, вмінню уявити просторові форми предметів за їх зображеннями, виконувати креслення об’єктів, що проектуються.

В навчальному плані по вивченню нарисної геометрії передбачені лекції та практичні заняття. Після прослуховування лекції з кожної теми студенти мають готуватися до практичних занять. А саме, повторити теоретичний матеріал за конспектом лекцій та підручником і розв’язати задачі по даній теми з цього зошита, які наведені в розділі „Задачі для підготовки до практичних занять”. На практичних заняттях студенти, разом з викладачем, продовжують розв’язувати задачі з певної теми в робочому зошиті, які наведені в розділі „Аудиторні задачі”.

Закріплюють знання з теми шляхом самостійного виконання розрахунково-графічних робіт (РГР), які являють собою епюри (кресленики). Їх виконують по мірі послідовного проходження курсу.

Завдання для РГР індивідуальні та розроблені по варіантах. Номер його надає викладач. Умови завдань наведені в методичних матеріалах „Нарисна геометрія: Збірник завдань до самостійної роботи студентів усіх напрямів підготовки факультету МКТ при виконанні розрахунково-графічних робіт / упор.: Ю.А. Ковальов, С.А. Плешко – К.: КНУТД, 2014. – 15 с.”

Методичні настанови по виконанню РГР наведені в методичних матеріалах „Нарисна геометрія: Методичні вказівки до самостійної роботи студентів усіх напрямів підготовки факультету МКТ при виконанні розрахунково-графічних робіт / упор.: Ю.А. Ковальов, С.А. Плешко – К.: КНУТД, 2014. – 34 с.”

При оформленні завдань, як завдань в робочому зошиті так і РГР, слід додержуватись таких вимог:

1. Побудови виконують використовуючи інструменти для креслення та олівці: з грифелем ТМ або НВ для проведення тонких ліній та наведення кресленика, а з м’яким грифелем М або В – для виконання написів.

2. Товщина ліній на кресленику повинна становити (ГОСТ 2.303-68): лінія суцільна товста основна (лінії видимого контуру) – 0,8...1,4 мм; лінія штрихова (лінії невидимого контуру) – 0,4...0,7 мм; лінії виносні, розмірні, осьові, горизонтального та вертикального зв’язку та лінії допоміжної побудови – 0,3...0,4 мм.

3. Проекції точок позначають кружками діаметром 1...2 мм.

3.

4. Послідовність дій у графічній роботі має бути зазначена стрілками на відповідних лініях. Стрілками позначають напрям проекціювання. Також повинна бути відображена видимість геометричних елементів.

В посібнику використані такі позначення:

1. Точки в просторі (в натурі) позначають великими літерами латинської абетки, тобто: A, B, C, D, E, F… або 1, 2, 3, 4, 5....

2. Прямі і криві лінії в просторі позначають малими літерами латинської абетки, тобто: a, b, c, d, e, f … Лінії рівня (в тому числі сліди площин) позначають літерами: горизонталь – h, фронталь – f, профільна пряма – p, сліди –h⁰, f⁰.

3. Площини в просторі позначають літерами грецької абетки, тобто (Π, D, G, Σ, Ω, Φ, θ, Λ,).

4. Проекції точок, прямих ліній та інших елементів на площинах проекцій мають індекс площини, на яку спроекціювався геометричний елемент. Наприклад, А₁ – проекція точки А на П₁.

5. Плоскі або двогранні кути позначають літерами α, β, γ та значком Ð або з написанням літери: Ðα, або α.

6. Прямий кут позначають дугою з точкою в середині цього сектора – ⊾.

7. Шукані натуральні величини відрізків, плоских фігур позначають подвійною лінією, шукані натуральні величини кутів – подвійною дугою.

8. Умовні позначення: // – паралельно; ∦ – не паралельно; ^ – перпендикулярно; ∩ – перетин; ≡ – збігаються; Î – належність; x, y, z – осі проекцій. Індекси при x, y, z означають належність до відповідних площини проекцій. Наприклад, x₁₂ – означає, що вісь x поділяє поле горизонтальних проекцій (індекс 1) і поле фронтальних проекцій (індекс 2).

4.

ТОЧКА

Проекції точки

Загальні положення

1. В системі прямокутних (ортогональних) проекцій площини проекцій взаємно перпендикулярні (рис. 1).

2. Попарно перетинаясь, площини проекцій утворюють вісі проекцій:

П₁∩П₂ = х₁₂ П₁∩П₃ = у₁ П₂∩П₃ = z₂₃

3. Перетин вісей проекцій х₁₂, у₁ та z₂₃ утворюють початок координат – точку О.

4. Проекція точки є точка перетину з площиною проекцій проекціювального променю, який проведено з точки перпендикулярно до площини проекцій.

5. Суміщення площин проекцій П₁ та П₃ з площиною П₂ в одну площину – площину кресленика, утворюють комплексний кресленик (епюр Монжа).

6. На комплексному рисунку (рис.1) горизонтальна і фронтальна проекції точки (А₁ і А₂) розміщуються на лінії проекціювального зв’язку, яка перпендикулярна до вісі x₁₂, фронтальна і профільна проекції (А₂ і А₃) – на лінії зв’язку, яка перпендикулярна до вісі z₂₃, а горизонтальна і профільна проекції (А₁ і А₃) – на ламаній горизонтально-вертикальній лінії зв’язку.

Рис. 1

7. Відстань від фронтальної проекції точки до осі x₁₂ (А₂х₁₂) відповідає відстані від точки А до площини П₁ (висоті точки А над П₁).

8. Відстань від горизонтальної проекції точки до осі x₁₂ (А₁х₁₂) відповідає відстані від точки А до площини П₂.

9. Горизонтальна П₁ і фронтальна П₂ площини проекцій поділяють простір на квадранти (див. рис. 2): I квадрант – над П₁ і перед П₂; II квадрант – над П₁ і поза П₂; III квадрант – під П₁ і поза П₂; IV квадрант ^_ під П₁ і перед П₂ (див. рис. 2). Відповідно горизонтальна П₁, фронтальна П₂ та профільна П₃ площини проекцій поділяють простір на октанти: V октант – над П₁ і перед П₂ та за П₃; VI октант – над П₁, поза П₂ та поза П₃; VII октант – під П₁, поза П₂ і поза П₃; VIII октант – під П₁, перед П₂ та поза П₃.

5.

Рис. 2

10. На комплексному кресленику проекції точок, що містяться в певних квадрантах, розміщуються відносно осі x₁₂ так (див. рис. 3): точка в I квадранті – горизонтальна нижче, а фронтальна вище від осі (А₁, А₂); точка в II квадранті – обидві проекції вище від осі (В₁, В₂); точка в III квадранті – горизонтальна вище, а фронтальна нижче від осі (С₁, С₂); точка в IV квадранті – обидві проекції нижче від осі (D₁, D₂).

Рис. 3

11. Якщо точка простору належить площині проекцій (рис. 4), то її проекція на цій площині збігається з самою точкою (Е₁≡Е), а проекція на другу площину (Е₂) ^_ на осі проекцій.

Рис. 4

6.

Задачі для підготовки до практичних занять:

1.1. На просторовому рисунку (рис. 5, а) зображені точки простору, а також їх проекції. Точки займають різні положення відносно площин проекцій.

На комплексному кресленику (рис. 5, б) побудувати фронтальні та горизонтальні проекції точок, за координатами які наведені на рис. 5, а в масштабі 1:1.

а б

Рис. 5

1.2. Побудувати третю проекцію

кожної точок А, В, С, D за двома

заданими.

1.3. Зобразити на комплексному

кресленику проекції точки, яка

рівновіддалена від площин проекцій

П₁, П₂, П₃ і розміщена в першому

квадранті.

7.

Аудиторні задачі:

1.4. Побудувати проекції точок за їх координатами та записати в яких квадрантах вони розміщені.

1.5. Побудувати другу проекцію точки А, яка знаходиться в вказаному квадранті, якщо задана одна проекція і залежність між координатами (y=z+n).

а б в

Примітка: Задачі з позначкою «*» мають підвищену складність.

1.6. Побудувати на комплексному

кресленику проекції точки В, яка

симетрична точці А (y=-15, z=25):

а) відносно горизонтальної площини

проекцій; б) відносно фронтальної

площини проекцій.

8.

ПРЯМА

Проекції прямої

Загальні положення

1. Проекція прямої є пряма.

2. Пряма, яка нахилена до всіх площин проекцій, називається прямою загального положення.

3. Проекція відрізка прямої загального положення менше своєї натуральної величини.

4. Прямі, паралельні площинам проекцій, називаються лініями рівня. Пряма, паралельна П₁, називається горизонтальною прямою, пряма, паралельна П₂ – фронтальною, паралельна П₃ – профільною прямою.

5. Лінія рівня проекціюється в натуральну величину на ту площину проекцій, до якої вона паралельна.

6. Прямі, перпендикулярні до площин проекцій, називаються проекціювальними. Ці прямі проекціюються в точки на ті площини проекцій, до яких вони перпендикулярні, а на дві інші - натуральними величинами. Пряма, перпендикулярна до П₁ – горизонтально проекціювальна; до П₂ – фронтально проекціювальна; до П₃ – профільно проекціювальна.

7. Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої, відповідно: з П₁ – горизонтальним слідом, з П₂ – фронтальним слідом, з П₃ – профільним слідом. Одна проекція сліду збігається із самим слідом, а друга – належить вісі проекцій (див. рис. 6).

Рис. 6

8. Якщо точка належить прямій, то її проекції належать однойменним проекціям прямої.

9. Точка поділяє відрізок у певному відношенні. Проекції цієї точки поділяють проекції відрізка в такому самому відношенні.

10. Однойменні проекції паралельних прямих паралельні.

11. У прямих які перетинаються однойменні проекції перетинають, а точки перетину проекції знаходяться на одній лінії проекціювального зв’язку.

12. Однойменні проекції перехресних (мимобіжних) прямих перетинаються, але точки перетину проекцій не належать одній лінії проекціювального зв’язку.

9.

Задачі для підготовки до практичних занять:

2.1. На заданій прямій n побудувати:

а) проекції точки А, яка належить

прямій n (АÎ n); б) проекції точки В,

яка розміщена за прямою; в) проекції

точки С, яка розміщена над прямою.

2.2. Через точку А провести

фронтальну пряму, яка розміщена під

кутом 45⁰ до горизонтальної площини

проекцій. Скільки таких прямих можна

провести?

2.3. Чи належить точки С

профільному відрізку АВС.

2.4. Записати назву прямих, які мають в системі площин П₁, П₂ та П₃:

а) тільки один слід

та вказати його назву _________________________________________________

б) тільки два сліди

та вказати їх назву ___________________________________________________

в) у яких випадках можливий

збіг на комплексному кресленні

слідів профільної прямої ___________________________________________

10.

Аудиторні задачі:

2.5. Чи належать точки А, В, С, D

прямій m.

2.6. Побудувати горизонтальну

проекцію відрізка АВ у якого точка В

рівновіддалена від П₁ та П₂. Поділити

відрізок АВ у відношенні 2:5.

2.6. Провести через точки А та В

пряму яка перетинає вісь x₁₂.

9.

2.7. Побудувати сліди заданих прямих.

а б в

2.8. Побудувати проекції прямих по

заданим проекціям слідів.

11.

2.9. Визначити дійсну величину відрізків АВ, СD, ЕК та кути нахилу їх до площин проекцій П₁ та П₂.

а б в

Завдання 1. Визначення положення та величин ребер

багатогранника за їх проекціями

Умова. В заданому багатограннику: а) визначити положення ребер відносно площин проекцій; б) позначити подвійною лінією проекції ребер, які проекціюються в натуральну величину, та подвійною дугою проекції кутів

нахилу ребер до площин проекцій П₁ та П₂; в) визначити натуральну величину одного з ребер загального положення, кути нахилу його до площин проекцій та побудувати проекції слідів цього ребра на площинах проекцій; д) одне з ребер загального положення поділити точкою у відношенні 2:3.

Завдання виконати на аркуші формату А4. Варіанти завдань наведені в табл. 1 збірника завдань.

Приклад виконання завдання наведено в методичних вказівках.

12.

Взаємне положення прямих в просторі

Задачі для підготовки до практичних занять:

3.1. Побудувати пряму яка:

а) перетинає задані прямі m і n;

б) паралельна площині проекцій П₂

та віддалена від неї на 20 мм.

3.2. Визначити взаємне

положення відрізків АВ та СD.

3.3. Побудувати пряму n, яка

перетинає пряму m та паралельна

до прямої а.

13.

Аудиторні задачі:

3.4. Провести через точку А пряму,

яка перетинала б відрізок ВС в точці D,

віддаленій від горизонтальної площини

проекцій П₁ на 10 мм.

3.5. Через точку С провести пряму, яка перетинає відрізок АВ та поділяє відрізок АВ увідношенні1:2.

а б