Экспоненциальное распределение в СМО

В большинстве СМО поступления клиентов происходит случайным образом. Это означает, что наступление события (например, поступление клиента или завершение обслуживания) не зависит от времени, прошедшего с момента наступления события.

Время между последовательными поступлениями клиентов и время их обслуживания, будучи случайными, при моделировании СМО количественно описываются экспоненциальным распределением, плотность вероятности которого имеет вид

f(t) = λ℮^{- λt}, t >0,

причем математическое ожидание М(х) = .

Функция распределения экспоненциального закона F(x) = 1 - ℮^{- λt}, t >0.

4. При обслуживании некоего сложного агрегата всегда имеется запасной блок для немедленной замены в случае поломки. Время выхода агрегата из строя является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий агрегат, утверждает, что агрегат «имеет привычку» выходить из строя каждый вечер около 20.30. Проанализировать утверждение оператора.

Решение. Средняя интенсивность (количество событий в единицу времени) агрегата равна λ = = 1,5 отказа в час. Следовательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид

f(t) = 1,5℮^{- 1,5t}, t >0.

Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соответствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказами агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным. Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя использовать вероятность того, что отказ будет происходить в 20.30, т.к. вероятность такого события зависит от времени дня (относительно 20.30) когда она вычисляется. Например, если вычисления производятся в 20.20, то, т.к. разница с 20.30 составляет 10 минут, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна

= 0,22,

т.е. является очень малой. Если же вычисления проводить, например, в 19.00, то вероятность того, что отказ будет иметь место в 20.30, равна

= 0,91.

Таким образом, достоверность утверждения оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей. В данной ситуации нужно полагаться только на характеристики экспоненциального распределения, а точнее, на его свойство отсутствия последействия.

5. Объяснить связь между интенсивностью поступления заявок на обслуживание λ и средним временем между последовательными их поступлениями. Определите среднюю интенсивность (в час) поступлений заявок на обслуживание и среднее время между их последовательными поступлениями в следующих примерах

1) каждые 10 минут происходит одно поступление.

2) Каждые 6 минут происходит два поступления.

Решение. Средний интервал времени между поступлениями есть математическое ожидание времени между поступлениями заявок и = 1/(интенсивность поступления заявок в единицу времени).

1) λ = = 6 заявок в час. М(Х) = часа.

2) λ = = 20 заявок в час. М(Х) = часа. ►

6. Время между последовательными поступлениями клиентов в некоторый Департамент распределено по экспоненциальному закону со средним значением 0,05 часа. Управление начинает работу в 8.00 утра.

1) Определить плотность вероятности экспоненциального распределения, описывающего время между последовательными поступлениями клиентов.

2) Определите вероятность того, что до 8.15 утра клиентов в Департаменте не будет.

3) Сейчас 8.35 утра. Последний клиент прибыл в управление в 8.26. Какова вероятность того, что следующий клиент прибудет до 8.38 утра?

4) Чему равно среднее число посетителей, которые прибудут в Департамент от 8.10 до 8.45 утра?

Решение. 1) М(Х) = часа. Следовательно, т.к. М(х) = , то λ = 20. Тогда плотность вероятности равна

f(t) = 20℮^{- 20t}, t >0.

2) Промежуток времени – 15 минут, причем нужно вычислить вероятность того, что клиентов не будет. Следовательно,

= ℮^{- 5} ≈ 0,00674.

3) Промежуток времени – 3 минуты, нужно вычислить вероятность того, что клиент прибудет. Поэтому

= 1 - ℮^{- 1} ≈ 0,6321.

4) Т.к. средняя интенсивность λ, т.е. количество клиентов за час, равна 20 посетителей, а нам нужно вычислить количество посетителей за 35 минут, имеем пропорцию

1 час – 20 посетителей,

часа – х посетителей,

откуда х = ≈ 11,67. ►

7. Официанты О₁ и О₂ ресторана быстрого питания в ожидании посетителей заняты следующей игрой: если в течение одной минуты в ресторан не прибудет ни один посетитель, О₁ платит 2 цента О₂, в противном случае 2 цента от О₂ получает О₁. Требуется вычислить средний выигрыш официанта О₁ за восьмичасовую смену. Время между приходами посетителей распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 минуты.

Решение. Среднее значение, т.е. математическое ожидание М(Х) = минуты, следовательно, λ = посетителя в минуту. Нам нужно вычислить вероятность того, что в данную минуту не придет ни один посетитель, т.е.

≈ 0,5117.

Получили, что каждую минуту официант О₁ может заплатить 2 цента с вероятностью 0,5117 и может получить 2 цента с вероятностью 0,4883. Тогда его средний выигрыш за одну минуту будет равен

(-2)· 0,5117 + 2·0,4883 = – 0,047 цента в минуту.

За восьмичасовую смену получаем (– 0,047) · 60 · 8 = – 22,56.

Таким образом, за восьмичасовую смену официант О₁ в среднем проигрывает 22,56 цента. ►