Оценка точности косвенных измерений

Косвенными называются измерения, при которых искомое значение величины определяется на основании известной зависимости

y = f (x_1, x₂,….,x_m), (1)

где x_1, x₂,….,x_{m –} значения, полученные при прямых измерениях.

Для обработки результатов измерений при нелинейных зависимостях между аргументами и некоррелированных погрешностях используется метод линеаризации. Он состоит в том, что нелинейная функция, связывающая искомую величину с аргументами, разлагается в ряд Тейлора, в котором значимыми являются только члены первой степени:

(2)

где – частные производные первого порядка, или коэффициенты влияния, показывающие влияние погрешности измерений j-го параметра на полную погрешность измерения ; – отклонение отдельного результата измерения j-го аргумента от его среднего арифметического; R- остаточный член.

Коэффициенты влияния вычисляются в точках

Величина называется частной погрешностью.

Остаточным членом, который приблизительно равен

пренебрегают, если

Из формулы (2) следует, что абсолютная погрешность косвенных измерений равна

, (3)

Погрешность косвенного измерения определяется как погрешностью каждого из прямых измерений, входящих в косвенное, так и зависимостью, связывающей искомую и измеренные величины. Формула является приближенной, так как учитывает только линейную часть приращения функции, однако в большинстве практических случаев она обеспечивает удовлетворительную точность оценки погрешностей косвенных измерений. Результат косвенного измерения вычисляется по формуле

(4)

где - результаты прямых измерений аргументов функции y.

Среднее квадратическое отклонение результата измерения вычисляют по формуле

(5)

Если распределение погрешностей результатов измерений аргументов не противоречит нормальному распределению, то доверительные границы случайной погрешности косвенного измерения при числе наблюдений аргументов 25…30 вычисляют по формуле

.

При меньшем числе наблюдений можно воспользоваться распределением Стьюдента и вычислить случайную погрешность по формуле

где t – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P и числу степеней свободы , но при этом возникает трудность с определением числа степеней свободы. Оно должно быть больше числа степеней свободы при измерении аргумента с наименьшим числом наблюдений Приближенную оценку числа степеней свободы, называемую эффективной, определяют по формуле

где - число наблюдений при определении аргумента.

При ориентировочных расчетах можно принимать число степеней свободы

Следует отметить, что формула (5) справедлива при отсутствии корреляционной зависимости между результатами измерений аргументов.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения вычисляются следующим образом:

а) при равномерном распределении составляющих . Если неисключенные систематические погрешности результатов измерений аргументов заданы границами , то доверительные границы НСП результата косвенного измерения при вероятности P находят по формуле

(6)

где k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом составляющих .

При следует также оценить алгебраическую сумму

,

и если эта сумма окажется меньше, чем , вычисленное по формуле (6) то за границы неисключенной НСП нужно принять

Если границы НСП результатов измерений аргументов заданы доверительными границами , соответствующими вероятностям , и при этом границы НСП результатов измерений аргументов вычислены по формуле, аналогичной (6), то границы НСП результата косвенного измерения для вероятности P находят по формуле

(7)

б) при нормальном распределении составляющих .Если все составляющие общей погрешности можно считать имеющими нормальное распределение (а это оправдано тогда, когда все они образованы большим числом составляющих) и все границы вычислены для одной и той же доверительной вероятности P, то границы НСП результата косвенного измерения рассчитываются по формулу (6).

в) в промежуточном случае, когда k составляющих имеет нормальное распределение, а – равномерное, в этом случае оценка дисперсии суммы:

– k слагаемых

;

– слагаемых

Среднее квадратическое отклонение НСП

Доверительные границы неисключенной систематической погрешности

где и - границы суммы и слагаемых погрешности, вычисляемых по формулам (6) и (7) для одной и той же доверительной вероятности. Этому же значению доверительной вероятности будет отвечать и полученная доверительная граница НСП составляющей результата косвенного измерения.

Известные систематические погрешности аргументов исключаются из результатов измерения аргументов путем введения поправок , и в формулы (2), (3), (5) подставляют исправленные результаты измерений аргументов.

Если по каким-либо причинам поправки к результатам измерения аргументов нужно использовать для уточнения непосредственно результатов косвенного измерения, то для этого нужно воспользоваться соотношением

Доверительные границы полной погрешности результата косвенного измерения определяют по формулам:

а) если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ,

где – при равномерном законе распределения составляющих НСП; – при нормальном законе распределения составляющих; – в промежуточном случае.

Косвенным измерениям присуща методическая погрешность. Она может возникать из-за того, что в общем случае при нелинейной функции y = f (x_1, x₂,….,x_m) коэффициенты влияния , в свою очередь являются функциями значений величин .

Коэффициенты влияния оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок . Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, коэффициенты влияния определяют экспериментально. И в том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником методической погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

Однако в некоторых случаях указанная погрешность определения коэффициентов влияния отсутствует:

1) функция y = f (x_1, x₂,….,x_m) линейна:

где - известные коэффициенты.

Тогда коэффициенты влияния формулы (3) и (5) имеют вид

Для расчета погрешностей измерений следует использовать вышеприведенные формулы с учетом того, что ;

2) функция y = f (x_1, x₂,….,x_m) является степенной функцией аргументов x_1, x₂,….,x_m вида

Тогда коэффициенты влияния имеют вид

Частные погрешности можно представить в относительном виде, поделив на y. Получим

Тогда формулы (3) и (5) приобретают вид

Обозначив

и

получим

Как видно из полученных формул, в данном случае расчет погрешностей упрощается при переходе к относительным погрешностям измерений. В частности, если погрешности измерения аргументов имеют нормальное распределение, то погрешность косвенного измерения можно вычислить по формуле

Критерии ничтожных погрешностей. СКО результата косвенного измерения определяется по формуле

(8)

Величины, входящие в формулу, измеряют с различной точностью, поэтому они по-разному влияют на погрешность результата косвенного измерения. Так как в оценке его СКО сохраняют не более одной или двух значащих цифр, то малые частные погрешности теряются при округлении.

Если в формуле (8) k-я частная погрешность такова, что

то этой погрешностью можно пренебречь, поскольку при округлении уже 1,04999 принимается за 1,0.

Возведя обе части неравенства в квадрат и приняв во внимание, что

,

получим , откуда следует, что можно пренебречь частными погрешностями, меньшими

или

Это правило распространяется и на сумму малых частных погрешностей: будут потеряны при округлении и поэтому могут не учитываться частные погрешности, сумма которых удовлетворяет условию

Это неравенство называется критерием ничтожных погрешностей, а сами погрешности – ничтожными. Применение этого критерия позволяет выделить те величины, точность прямого измерения которых нет смысла повышать, так как это не приведет к повышению точности результата косвенного измерения.

Порядок обработки результатов наблюдений и оценивание погрешностей результата косвенного измерения.

По выданному варианту задания результатов наблюдений массы и объема твердого тела в курсовой работе необходимо определить результат косвенного измерения плотности тела и его погрешности при нелинейной зависимости. Для определения доверительных границ погрешности результата измерений плотности твердого тела Р принять равной 0,95.

Плотность твердого тела определяется по формуле

.

Данная зависимость измеряемой величины от аргументов является степенной нелинейной функцией: с коэффициентами , .

Результат измерения плотности равен

,

где , - средние арифметические значения результатов измерений массы и объема тела

, ,

где - числа наблюдений при измерении m и V соответственно.

Масса измеряется методом точного взвешивания с применением набора образцовых гирь; объем – методом гидростатического взвешивания с применением того же набора гирь. Погрешность измерения плотности содержит случайную и систематическую составляющие.

Случайная погрешность измерения плотности (без учета знака):

,

где - эмпирическое СКО результата измерения плотности твердого тела.

Значение коэффициента t для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с n–1 степенями свободы для доверительной вероятности Р = 0,95 определяется по таблице (прил. 2).

Расчет проводится в относительной форме:

где – эмпирические средние квадратические отклонения результатов наблюдений массы и объема:

, ;

, .

Оценка СКО результата измерения плотности в абсолютной форме

НСП результата измерения плотности определяется как неисключенные систематические погрешности измерения массы и объема, обусловленные погрешностями гирь, равными ± 0,01 мг:

– в относительной форме

,

где k – коэффициент, зависящий от вероятности Р =0,95;

– в абсолютной форме

.

Полная погрешность результата измерения плотности

,

где , .

Вычисления представить в виде табл. 6.

Таблица 6

Масса mi, г	г	г2	Объем, Vi см3	см3	см3

Для оценивания погрешности измерения использовать метод линеаризации. Сначала проверить допустимость этого метода, для чего вычислить остаточный член:

,

при , ; , ,

= .

Выразить R в относительной форме и оценитьdV и dm:

; ;

В качестве абсолютных погрешностей и взять максимальные значения отклонения от средних значений (табл. 6).

Проверить условие, позволяющее пренебречь остаточным членом

.

В относительной форме: ,

где ; .

Если неравенство выполняется, то можно R пренебречь.

Оценку СКО результата измерения плотности определить в относительной и абсолютной форме.

Определить доверительные границы случайной погрешности результата измерения плотности (e).

Определить неисключенную систематическую погрешность результата измерения плотности:

– в относительной форме при ;

– в абсолютной форме.

Найти отношение и сделать вывод о погрешности результата измерения плотности твердого тела.

Записать результат косвенного измерения плотности твердого тела.