Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т (традиционное обозначение для показательного распределения), которое описывается плотностью
где a – положительная постоянная величина.

Функция распределения показательного закона

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины Т в промежуток (а; b) .

Числовые характеристики показательно распределенной случайной величины выражаются через её параметр следующим образом: .

Связь пуассоновского распределения с показательным выражается в том, что случайная величина Х (число событий некоторого потока за фиксированный промежуток времени t) имеет пуассоновское распределение с параметром l тогда и только тогда, когда случайная величина Т (промежуток времени между последовательными событиями) имеет показательное распределение с параметром a, при этом l = at.

13.1. Найти числовые характеристики показательного распределения, заданного при а) плотностью , б) функцией распределения .

13.2. Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром a = 2. Найти вероятность попадания Т на промежутки [1; 2], .

13.3. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть a = 5 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Найти вероятность того, что время расформирования состава: а) меньше 30 мин; б) больше 6 мин, но меньше 24 мин.

13.4 Время безотказной работы технического устройства имеет показательное распределение с параметром a = . Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 800 часов.

13.5. Поток отказов технического устройства с высокой степенью точности моделируется стационарным пуассоновским потоком. Среднее число отказов за 1000 часов работы устройства равно 10. Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 100 и не более 200 часов. Чему равно среднее время безотказной работы технического устройства?

13.6. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательный закон с функцией распределения , для второго – . Найти вероятность того, что за шестичасовой период испытания: а) оба элемента откажут, б) оба элемента не откажут, в) только один элемент откажет, г) хотя бы один элемент откажет.

13.7. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой (g > 0). Найти среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

13.8. Вероятность безотказной работы ЭВМ имеет экспоненциальное распределение с параметром a = . Найти вероятность того, что за сутки произойдет хотя бы один отказ ЭВМ.

13.9. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательный закон с функцией распределения , t ³ 0. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч: а) элемент откажет, б) элемент не откажет.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Непрерывная случайная величина с плотностью называется нормально распределенной. Символически это записывают так: Х ~ N(а; s). Вероятностный смысл параметров аÎ(-¥;+¥) и sÎ(0;+¥): М[x] = a; D[x] = s².

Распределение N(0; 1) называется стандартным нормальным законом, его плотность обозначается j(х). Функция распределения Х ~ N(0; 1) , где называется функцией Лапласа. Функция Лапласа нечетна: , поэтому её табулируют только для неотрицательных х.

Замечание. В книгах используют разные обозначения для функции Лапласа. Кроме того, функцией Лапласа называют различные функции.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х ~ N(а; s) в промежуток (a; b) Р{a £ Х £ b} = .

Для этой величины вероятность отклонения от математического ожидания не более чем на g: .

При g = 3s , откуда следует эмпирическое правило «трех сигм»: выход нормальной случайной величины за трехсигмовый интервал есть событие практически невозможное.

Устойчивость нормального закона. Линейная комбинация ( ~ ) независимых нормальных случайных величин является нормально распределенной случайной величиной с параметрами и .

14.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х а) с плотностью вероятности ; б) с функцией распределения .

14.2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 4 и дисперсией D = 4. Записать её плотность и найти Р{1 £ X £ 5}, Р{X £ 5}.

14.3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(20, 10). Найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.

14.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 10. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, если известно что Р{10 < X < 18,5} = 0,3023.

14.5. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N(a, s). Найти значения a и s, если известно что Р{X < 10} = 0,6554 и Р{X > 12} = 0,2119.

14.6. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 68 т, но не менее 63 т.

14.7. Мастерская изготавливает стержни, длина которых представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием m = 25 см и средним квадратическим отклонением s = 0,1 см. Найти вероятность того, что отклонение длины стержня в ту или другую сторону от математического ожидания не превзойдет 0,25 см.

14.8. Диаметр детали, изготавливаемой на станке, – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а = 25 см и средним квадратическим отклонением s = 0,4 см. Найти вероятность того, что две взятые наудачу детали имеют отклонение от математического ожидания по абсолютной величине не более 0,16 см.

14.9. Номинальный размер детали 100 мм, технический допуск ±0,25 мм. Среднее квадратическое отклонение, характеризующее точность станка-автомата, на котором получают деталь, равно 0,1 мм. Считая, что закон распределения размера детали близок к нормальному, найти: а) процент брака; б) процент деталей, размер которых заключен в пределах от 100,1 мм до 100,2 мм.

14.10. Линейная размерная цепь содержит 16 составляющих размеров X₁, X₂, ¼, X₁₆ и замыкающий размер Y = X₁ +¼+ X₁₅ – X₁₆ . Технология изготовления такова, что отдельные составляющие размеры слабо зависимы и выполняются с одной точностью s = 1 мм. Применив правило 3s, найти максимальное отклонение замыкающего размера Y от номинального. Какова вероятность того, что это отклонение не превзойдет 8 мм?

14.11. Самолет берет четырех пассажиров, не считая пилота, или не более 360 кг груза. Допустим, что вес пассажира есть случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним весом 75 кг и стандартным отклонением 10 кг. Как часто самолет будет перегружен, беря на борт четырех пассажиров?

14.12. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m = 40 и дисперсией D = 200. Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (30; 80).

14.13. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х и вероятность , если известно, что и .

14.14. Диаметр выпускаемой детали – случайная величина, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см и средним квадратическим отклонением 0,9 см. Найти: а) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр от 4 до 7 см; б) вероятность того, что размер диаметра наудачу взятой детали отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.

14.15. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 1,6 и средним квадратическим отклонением s = 1. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один раз в интервал (1; 2).

14.16. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратическим отклонением 0,9 т. Локомотив может вести состав массой не более 6520 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

ТЕОРЕМЫ ГРУППЫ ЦПТ

Центральной предельной теоремой (ЦПТ) называют группу теорем, дающих формулировки условий, при которых возникает нормальное распределение.

Теорема Линдеберга-Леви. Пусть Х₁ , Х₂ , … – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с М[Х_i] = m и D[Х_i] = d. Последовательность случайных величин (так, что M[Z_n] = 0; D[Z_n] = 1) при n®¥ и произвольных a и b удовлетворяет условию , где – функция Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. При больших n закон распределения биномиальной величины с параметрами n и p близок к нормальному с параметрами a = np и , т.е. .

Локальная теорема Лапласа утверждает, что , откуда следует что , где

15.1. Х_i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет показательное распределение с параметром . Случайная величина Y равна . Найти Р{Y < 1100}.

15.2. В процессе вычислений производится сложение 100 чисел, округленных до четвертого десятичного знака после запятой. Используя правило «трех сигм», найти максимальную абсолютную погрешность результата.

15.3. Вероятность поражения цели при одном выстреле р равна 0,2. Производится 100 выстрелов. Случайная величина X – число попаданий. Найти вероятность того, что будет а) 24 попадания; б) от 16 до 28 попаданий; в) больше 30 попаданий.

15.4. На предприятии имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,7 всего рабочего времени. Найти вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными а) 72 станка; б) от 60 до 80 станков; в) более 90 станков.

15.5. Для контроля продукции из очень большой партии изделий выбираются случайным образом 100 изделий. Вся партия отвергается, если среди отобранных изделий будет не менее 10 дефектных. Какова вероятность отвергнуть партию, доля дефектных изделий в которой составляет 15%?

15.6. Х_i – независимые случайные величины, каждая из которых имеет равномерное распределение на отрезке [–1; 1]. Случайная величина Y равна . Найти .

15.7. Предприятие выпускает в среднем 5% бракованных изделий одного наименования. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий будет a) 50 бракованных; б) более 70 бракованных.

15.8. Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надежность q равна 0,05. Найти вероятность того, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя а) от 5 до 10 изделий; б) не менее 5 изделий; в) менее 5 изделий.