Центральная предельная теорема Ляпунова и её следствия.

В §2 мы говорили об устойчивости средних характеристик большого числа опытов, об устойчивости сумм вида

.

Однако величина S_n сама является случайной величиной, а значит имеет некоторый закон распределения.

Оказывается, что при весьма общих условиях закон распределения S_n близок к нормальному закону. Этим и определяется особая роль нормального распределения, поскольку с суммами большого числа случайных слагаемых приходится иметь дело весьма часто как в самой теории вероятностей, так и в её многочисленных приложениях.

В общих чертах содержание центральной предельной теоремы (кратко ЦПТ) может быть высказано следующим образом:

Распределение суммы большого числа независимых случайных величин, при весьма общих условиях, близко к нормальному распределению.

Перейдём к формулировке ЦПТ.

Пусть дана последовательность независимых величин Составим «частичные» суммы» этих величин

(n=1,2…) .

От каждой из случайных величин перейдем к, «нормированной» случайной величине

математическое ожидание которой равно 0, а дисперсия 1.

Действительно

.

Введём условие Ляпунова, налагаемое на последовательность .

Условие Ляпунова. Если существует такое число δ>0, что

,

где , то говорят, что последовательность случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова.

Условие Ляпунова является одним из возможных математических выражений того факта, что отдельные отклонения должны быть при больших n малы по сравнению с суммарным отклонением .

Проверим, в частности, что условие Ляпунова выполняется для одинаково распределенных слагаемых _.

В этом случае все М совпадают и равны некоторому числу m, все совпадают и равны некоторому d, , все совпадают и равны некоторому b. Тогда

.

И, значит, условие Ляпунова выполнено.

Теперь мы можем сформулировать ЦПТ в форме

А.М. Ляпунова.

Теорема. Если последовательность независимых случайных величин удовлетворяет условию Ляпунова, то для любых (конечных или бесконечных) a и b справедливо предельное соотношение

. (1)

Иначе говоря, в этом случае закон распределения нормированной суммы сходится к нормальному закону с параметрами: m=0, =1.

Замечание о роли нормального закона.

Допустим, что производится измерение какой либо физической величины. На результат измерения влияет огромное количество случайных факторов, таких, как колебание атмосферных условий, сотрясение измерительного прибора, личные особенности наблюдателя и т.д. Каждый из этих факторов, взятых в отдельности, порождает ничтожную ошибку ξ_i в измерении данной величины. Все такие незначительные ошибки суммируются, так, что суммарная ошибка ν представляется в виде суммы большого числа случайных величин ξ_к с малыми значениями; часто можно считать ξ_к независимыми. И хотя закон распределения каждой из этих величин нам неизвестен, тем не менее (в виду ЦПТ) можно уверенно заключить, что вся сумма ν будет иметь закон распределения близкий к нормальному.

Исходя из сказанного выше, при математической обработке результатов измерения исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения. Из двух параметров этого закона один, а именно математическое ожидание, равен нулю. Второй параметр – среднее квадратичное отклонение – характеризует, в известном смысле, точность измерений.

Другой важный пример, характеризующий роль нормального распределения в приложениях теории вероятностей, дает массовое производство, существующее во многих отраслях современной промышленности. В процессе массового производства изготавливаются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны, естественно, соответствовать определенному стандарту однако в действительности наблюдаются отклонения от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует, учесть, что выпуск изделия связан, как правило, с большим числом операций, некоторые из них не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает ничтожную ошибку ξ_i (это и есть, в каком то смысле, условие Ляпунова, что «достаточно вероятные» значения слагаемых ξ_к должны быть при больших n малы по сравнению со всей суммой ν_n), но, складываясь, такие ошибки могут давать вполне ощутимые отклонения от стандарта. И здесь, так же как в случае ошибок измерения, имеются все основания считать, что суммарное отклонение от стандарта подчиняется нормальному распределению.

Подобных примеров можно привести много в разных областях науки и техники. Они объясняют, почему нормальный закон так часто возникает в задачах прикладного характера.

Приведём пример, иллюстрирующий ЦПТ .

Пример 1. Доска Гальтона.

Прибор Ф. Гальтона (1822-1911) состоит из слегка наклоненной прямоугольной доски в которую вбито в шахматном порядке большое число гвоздиков (рис.1) Сверху доски, в середине, помещается воронка , из которой выпускаются шарики: диаметр всех шариков одинаков и несколько меньше расстояния между гвоздиками. После столкновения с гвоздиками каждого ряда, шарик скатывается в одно из вертикальных отделений внизу доски, фиксирующих место выхода шарика из последнего ряда гвоздиков. Направим ось ОХ вдоль нижнего ребра доски, поместив начало в центре указанного ребра; за единицу масштаба примем расстояние между соседними гвоздиками.

При каждом столкновении шарик может пройти либо в левый, либо в правый просвет того же ряда гвоздиков.

Рассмотрим траекторию одного из шариков. Обозначим через ξ₁ смещение вдоль оси ОХ, полученное шариком между первым и вторым столкновениями с гвоздиками (при проходе через первый ряд гвоздиков), через ξ₂ – смещение полученное между вторым и третьим столкновениями, ξ_к – при проходе через к-ый ряд гвоздиков. Через ξ обозначим суммарное смещение, полученное после прохождения всех рядов гвоздиков, очевидно, имеем: ξ=ξ₁+ξ₂+…+ξ_n , где n число рядов.

Каждая из величин ξ₁, ξ₂, …, ξ_n представляет собой случайную величину, принимающую только два значения, +1 (проход шарика в правый просвет) и -1 (проход шарика в левый просвет), с вероятностями ; её математическое ожидание равно 0, а дисперсия 1. Если n достаточно велико, то на основании ЦПТ (применённой к сумме большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин), можно считать, чтоξ имеет распределение, близкое к нормальному, с центром в точке 0 и средним квадратичным отклонением .Количество шариков в каждом отделении, согласно частотному смыслу вероятности, должно быть пропорционально вероятности попадания в отделения и тем самым соответствующей ординате плотности нормального распределения. Поэтому кривая «огибающая» лежащие в отделениях шарики отличается от нормальной кривой лишь постоянным множителем. Опыты показывают, что даже при не очень больших n расположение шариков отчётливо воспроизводит нормальную кривую.

Применим теперь теорему Ляпунова к схеме Бернулли.

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью р (0<р<1) наступает

событие А. Рассмотрим случайную величину ν_n число наступления события А в n опытах. Очевидно,

ν_n= ξ₁+ξ₂+…+ξ_n ,

где ξ_i обозначает число наступлений события А в i -м опыте (i=1,2,...,n). Случайные величины ξ_i имеют один и тот же закон распределения, так что условия теоремы Ляпунова выполнены. Но тогда должна быть справедлива формула (1), которая в данном случае принимает вид:

(2)

(напомним, что =np, =npq см. §7,8 гл II).

Это равенство носит название интегральной предельной теоремы Лапласа.

Покажем, что из него следует интегральная приближенная формула Лапласа (формула(3) §12 гл.II).

Событие

равнозначно

Положим

,

так, что

.

Тогда левая часть формулы (2) запишется:

. (3)

Правую же часть, учитывая соотношение: , (где Ф(x)-функция Лапласа), можно представить как

.

Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела в (2), к выражению (3), получаем приближенное равенство

,

которое есть не что иное, как интегральная приближённая формула Лапласа.