Установившаяся фильтрация реального газа

При больших давлениях уравнение состояния реального газа отличается от уравнения Клапейрона и имеет вид

(VIII.27)

где z = z(p_r, T_r) — коэффициент сверхсжимаемости газа, учиты­вающий отклонение реального газа от идеального и зависящий от приведенных давления и температуры

и определяемый по графику (рис. 55). Здесь и — соответственно среднекритическое давление и среднекритнчеcкая температура. Так как природный газ состоит из различ­ных компонентов (метан, этан, пропан и др.). то предваритель­но нужно вычислить значения и по формулам

где n_j — содержание j-го компонента в газе, об. %; и — критическое давление и температура j-го компонента соответ­ственно.

Динамический коэффициент вязкости природного (реально­го) газа зависит от давления и температуры. Считая процесс изотермическим, нужно учитывать зависимость µ(p). На осно­вании экспериментальных исследований построены графики, по которым с точностью до 6% можно найти значения дмнамического коэффициента вязкости природного газа при различных давлениях и температурах в зависимости от относительной плотности по воздуху (рис. 56).

Для определения массового дебита реального газа или зако­на распределения давления нужно записать закон Дарси для бесконечно малого элемента пласта и, учитывая зависимость µ(р) и формулу (VIII.27), проинтегрировать его графоаналитическим методом (см. задачи 83, 84). Если давление в пласте меняется в небольшом интервале, то можно аппроксимировать зависимость p/µ(p)z(p) простой алгебраической функцией, взять интеграл аналитически и получить аналитическое выра­жение для дебита и закона распределения давления.

Задача 75

Определить проницаемость песка, если через трубу диамет­ром d = 200 мм и длиной l = 12 м, заполненную этим песком, пропускался воздух вязкостью 0,018 мПа•с при перепаде давления, равном 4,41•10⁴ Па (0,45 кгс/см²); избыточные давления в начале и в конце трубы составляют p₁ =0,98•10⁵ Па (1 кгс/см²), р₂ = 0,539•10⁵ Па (0,55 кгс/см²). Средний расход воздуха, приве­денный к атмосферному давлению, равен 250 см³/с. Атмосфер­ное давление принять равным р_ат = 0,98•10⁵ Па, температуру t = 20°C.

Ответ: k = 21,5 Д.

Задача 76

Сравнить распределение давления в пласте в случаях уста­новившейся плоскорадиалыюй фильтрации газа и несжимаемой жидкости по закону Дарси при одинаковых граничных условиях: r_с = 0,1 м, р_с = 50 кгс/см², R_к = 750 м, р_к=100 кгс/см².

Решение.Определим, какая часть (в процентах) депрессии теряется при движении несжимаемой жидкости и газа в пласте на расстоянии r—r_с.

Из закона распределения давления в несжимаемой жидкости

получим

Из закона распределения давления газа

найдем

Задаваясь различными значениями , подсчитаем δ_ж и δ_г и результаты представим на рис. 57 и ниже.

Задача 77

В пласте имеет место установившаяся плоскорадиальная фильтрация газа по закону Дарси. Абсолютное давление на контуре питания р_к = 9,8 МПа (100 кгс/см²), давление на забое скважины р_с = 6,86 МПа (70 кгс/см²), приведенный к атмосфер­ному давлению и пластовой температуре объемный расход газа Q_ат = 8·10⁵ м³/сут. Радиус контура питания R_k = 750 м, радиус скважины r_с = 0,1 м, мощность пласта h = 10 м, пористость m = 20%. Определить давление, скорость фильтрации и среднюю скорость движения газа на расстоянии r = 50 м от скважины.

Ответ: р = 9,02 МПа; w = 3,32·10^-5 м/с; v = 1,66·10^-4 м/с.

Задача 78

Определить расстояние от возмущающей газовой скважи­ны до точки пласта, в которой давление равно среднеарифмети­ческому от забойного давления р_с = 70 кгс/см² и давления на контуре питания p_k =100 кгс/см². Расстояние до контура пита­ния R_k = 1000 м, радиус скважины r_c =10 см.

Ответ: = 6,76 м.

3адача 79

Определить объемный приведенный к атмосферному давле­нию и массовый дебиты совершенной газовой скважины, считая, что фильтрация происходит по закону Дарси, если мощность пласта h = 25 м, коэффициент проницаемости пласта k = 250 мД, динамический коэффициент вязкости газа μ = 0,014 мПа·с, плотность газа в нормальных условиях ρ_ат = 0,650 кг/м³, радиус скважины r_c = 0,1 м расстояние до контура питания R_к = 900 м, абсолютные давления на забое скважины р_с = 2,94 МПа и на контуре питания р_к = 3,92 МПа, газ считать идеальным.

Ответ:Q_m= 607 т/сут; Q_ат = 0,935·10⁶ м³/сут.

Задача 80

Известно, что в пласте происходит установившаяся плоско­радиальная фильтрация газа по закону Дарси. Радиус контура питания R_k = 1000м, радиус скважины r_с = 0,1 м, абсолютное давление газа на контуре питания р_к=100 кгс/см², давление на забое скважины р_с = 92 кгс/см². Определить средневзвешенное по объему пласта давление .

Решение.При установившейся плоскорадиальной фильтрации газа по закону Дарси давление в каждой точке пласта опреде­ляется по формуле

Для нахождения средневзвешенного пластового давления га­за выделим на расстоянии r от скважины кольцевой элемент пласта шириной dr. Объем порового пространства этого элемен­та равен

Объем порового пространства всего пласта равен

Давление

Если правую и левую части полученного равенства разделим на p_k и введем обозначения и , то получим

Заменим

тогда

Если |x|<1, то можно разложить в ряд.

Известно, что

Разложим в ряд, удержав первые два члена ряда.

Тогда

Интегрируя, подставляя пределы и пренебрегая членами, содержащими ,получим

Подсчитаем среднее пластовое давление по данным задачи

откуда

Как видно, при установившейся плоскорадиальной фильтра­ции газа средневзвешенное пластовое давление близко к кон­турному давлению .

Задача 81

Показать, что при установившемся прямолинейно-параллель­ном движении газа в пористой среде в условиях напорного ре­жима распределение давления в пласте не описывается зако­ном фильтрации, выраженным в виде одночленной степенной формулы вида (II.11).

Решение.Из принципа однородности размерностей следует, что

,

где x—координата, взятая вдоль линии тока по движению газа. Отсюда массовый расход

.

Обозначив

и введя функцию Лейбензона

,

Получим дифференциальное уравнение

,

откуда

.

Проинтегрировав полученное уравнение с учетом граничных условий

x=0; P=P_к; x=l; P=P_г;

,

получим

,

откуда

.

Интегрируя по х от 0 до х и по Р от Р_к до Р, получим

,

или

.

Переходя от функции Лейбензона к давлению, получим окончательно закон распределения давления

,

не зависящий от значения п, характеризующего закон фильтра­ции.

Задача 82

Найти коэффициенты А и В уравнения индикаторной кривой по данным испытания газовой скважины, приведенным в табл.3.

Решение. Возьмем уравнение индикаторной линии в виде двучленной формулы (VIII.26)

,

где

,

и перепишем его в виде

.

Коэффициенты А и В найдем по способу наименьших квад­ратов, для чего подсчитаем значения Dр², Dp²/Q_ат, Q_ат²и их суммы и результаты занесем в табл. 4.

.

Кроме того, найдем

SQ_ат = 5,475×10⁵ м³/сут.

и

(SQ_ат)² = 29,97×10¹⁰ м⁶/сут².

Обозначим через х_i и y_i значения Q_aт и Dp²/Q_aт при i-том замере. Для каждого замера мы имеем уравнение

. (VIII.28)

Сложив почленно уравнения (VIII.28) для i=l, 2, ..., п (где п — число испытаний), получим

. (VIII.29)

Умножим правую и левую части уравнения (VI 11.28) на x_i

и просуммируем полученные уравнения

. (VIII.30)

Система уравнений (VIII.29) и (VIII.30) служит для определе­ния неизвестных А и В, которые найдем по формулам Крамера

,

.

Учитывая, что

x_i = (Q_ат)_i ,

,

x_iy_i = (Dp²)_{i ,}

получим формулы для А и В ввиде

,

Подставляя исходные данные, найдем численные значения А и В

,

.

Задача 83

Природный газ имеет следующий состав:

Определить дебит Q_ат газовой скважины, учитывая свойства реального газа, и сравнить его с дебитом Q'_aтдля идеального газа.

При решении использовать график зависимости коэффициен­та сверхсжимаемости z от приведенных температуры и давле­ния и график зависимости динамического коэффициента вяз­кости m от давления и плотности газа при температуре пласта t = 38° С.

Статическое давление на забое скважины, принимаемое за контурное, p_к = 150 кгс/см², динамическое — р_с = 100 кгс/см², коэффициент проницаемости k = 0,1 Д, мощность пласта h = 10 м, радиус контура области дренирования R_к = 1 км, радиус: скважины r_с = 10 см.

Решение. При линейной фильтрации и установившемся дви­жении газа массовый дебит скважины определяется по формуле-Дарси

. (VIII.31)

Интегрируя и учитывая, что r и m являются функциями дав­ления, получим

(VIII.32)

Из уравнения состояния реального газа p/r = zRT имеем

(VIII.33)

Подставляя в интеграл (VIII. 32) выражение (VI 11.33), за­пишем

Для того чтобы найти численное значение интеграла, раз­биваем диапазон изменения давления на шесть интервалов и аппроксимируем интеграл

(VIII.34)

здесь p_i’ и р_i"—крайние значения давлений в i-том интервале; z_i и m_i — значения коэффициента сверхсжимаемости z(p) и динамического коэффициента вязкости m(р) при давлении рi = (р_i'+ р_i") / 2.

С учетом выражения (VIII.34) получим формулу для деби­та в виде

(VIII.35)

Значения z_i определим из графика z = z(p_r , T_r), для чего найдем приведенные давление и температуру в каждом интер­вале по формулам

р_r = p/p_{ср.кр ,}

Т _r = Т/Т_ср.кр ,

где

,

,

a n_j — объемное (молярное) содержание j-го компонента в газе (табл. 5); Sn_j=100

По данным табл. 5

Р_ср.кр = 45,69 кгс/см², Т_ср.кр = 222,2 К,

Относительную плотность газа по воздуху определяем по данным последней графы табл. 5.

Значения m₂- найдем по графику зависимости m от относи­тельной плотности газа = 0,667 и от давления р_i- при t = 38° С (см. рис. 56).

Определим члены суммы, входящей в выражение (VIII.35) •(табл. б).

Приведенный к атмосферному давлению объемный дебит реального газа равен

.

Так как z_ат= 1, то

Считая газ идеальным и принимая вязкость m = 0,0175 cП (значение, соответствующее среднему значению давления газа в пласте р= (100+ 150)/2= 125 кгс/см²), получим

Как видно из полученных данных, в условиях рассматривае­мой задачи дебит скважины с учетом реальных свойств газа больше дебита идеального газа на 28%.

Задача 84

В пласте происходит плоскорадиальная установившаяся фильтрация газа по закону Дарси. Найти распределение дав­ления в пласте с учетом реальных свойств газа.

Состав газа приведен в условии задачи 83, давление на кон­туре питания р_к = 150 кгс/см², давление на забое скважины р_с = 100 кгс/см², радиус контура питания R_к = 1000 м, радиус сква­жины r_с = 0,1 м, температура газа в пласте t = 38° С, коэффици­ент проницаемости пласта k = 0,1 Д, мощность пласта h = 10 м.

Решение.Для проскорадиалыюй фильтрации реального газа по закону Дарси массовый дебит равен

(VIII.36)

Из уравнения состояния реального газа р/r = z(р, T)RT найдем зависимость r от p

.

При атмосферном давлении

z(p_ат, Т) = 1

Учитывая последнее равенство, найдем

Подставляя значение r в дифференциальное уравнение (Vlll.36), разделяя переменные и интегрируя по р от р до р_к и по r от r до R_к, получим

или

(VIII.37)

Далее решаем задачу гра­фоаналитическим методом. Используя данные табл. 6 за­дачи 83, найдем значения подынтегральной функции

при температуре Т = 273°+38° = 311 К (табл. 7) и построим ее график (рис. 58).

Задаваясь различными значениями р (100 £ р £150 ), подсчитаем значения

как площади, заключенной между кривой, осью абсцисс и орди­натами р = р и р = р_к (табл. 8).

Зная из задачи 83, что Q_ат = 2_,83×10⁶м³/сут = 32,75 м³/с, на­ходим значения

и по ним — отношения R_к/r и расстояния r (cм. табл. 8). На рис. 59 приведен график зависимости р от lg(r/r_с) по данным табл. 8.

Задача 85

Определить приведенный дебит газовой скважины, если при­родный газ имеет следующий состав (табл. 9).

Давление на контуре питания р_к = 100 , давление на забое скважины р_с = 50 , проницаемость пласта k = 0,12 Д, мощность пласта h = 8 м, радиус контура питания R_к = 750 м, радиус скважины r_с = 10 см, температура пласта t = 38° С.

Указание. При решении воспользоваться методикой задачи 83.

Ответ. Q_ат = 1,77-10⁶ м³/сут.

Задача 86

Совершенная скважина расположена в центре кругового пласта радиуса R_к =10 км, мощность пласта в среднем равна h = 15 м, коэффициент проницаемости k = 400 мД, коэффициент динамической вязкости пластовой жидкости m = 1,02 мПа×с, коэффициент сжимаемости жидкости b_ж = 4,64 • 10^-10 Па^-1, дав­ление на контуре питания р_к = 11,76 МПа, забойное давление р_с = 7,35МПа, радиус скважины r_с = 0,1 м. Фильтрация проис­ходит при водонапорном режиме по закону Дарси.

Определить различие в объемном суточном дебите скважи­ны, подсчитанном с учетом сжимаемости жидкости и при усло­вии, что жидкость несжимаема.

Решение.Формулу дебита скважины с учетом сжимаемости можно получить из формулы Дюпюи, заменяя объемный расход Q расходом Q_m, а давление р функцией Лейбензона Р.

Для жидкости, подчиняющейся закону Гука с уравнением состояния r = функция Лейбензона

а

Раскладывая е^х в ряд и ограничиваясь тремя членами раз­ложения

(е^х = 1 + х + ),

получим

Давления в последней формуле абсолютные. Если положить р₀ = р_ат то можно записать формулу для Q_m через избыточные давления р_к и р_с

Разность между объемным дебитом с учетом сжимаемости и дебитом, определяемым по формуле Дюпюи, равна:

что составляет от дебита, определяемого по формуле Дюпюи

величину

Следовательно, при установившемся режиме фильтрации дебит можно определить по формулам для несжимаемой жид­кости.