Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений

Определение. Фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений (ФСР ОСЛУ) называется система решений, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) является линейно независимой;

2) каждое решение данной системы линейных уравнений линейно выражается через эту систему решений.

Теорема.ФСР ОСЛУ содержит n-r решений, где n - число неизвестных, r – ранг основной матрицы системы.

Прежде чем доказать теорему, рассмотрим следующий пример.

Пример.

Найти ФСР ОСЛУ:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

ФСР состоит из n-r= 5-3=2 векторов.

Пусть Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - главные неизвестные, Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - свободные неизвестные.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Общее решение системы Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

По-другому: Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему линейных уравнений

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru (2.6)

I. Обозначим Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - ранг матрицы; n – число неизвестных.

Пусть первые r строк и первые r столбцов линейно независимы.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - неособенная и может быть приведена к единичной с помощью элементарных строчечных преобразований.

Однородная система линейных уравнений, соответствующая матрице С

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru (2.6')

равносильна исходной системе линейных уравнений.

Пусть Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - главные неизвестные; Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - свободные неизвестные.

II. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, вычислим соответствующие значения главных неизвестных.

В частности,

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ,…, Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru (2.7).

Покажем, что система (2.7) является фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений системы (2), а следовательно и исходной системы.

III. Покажем, что система (2.7) является линейно независимой.

Рассмотрим равенство:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru (2.8)

Выполнив в левой части этого равенства операции умножения на скаляр и сложения векторов, получим:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Из этого равенства видно, что по Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Равенство (2.8) выполняется при нулевом наборе скаляров, следовательно (2.7) – линейно независима.

IV. Покажем, что каждое решение ОСЛУ линейно выражается через систему (2.7).

Пусть Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - какое-либо решение системы (2.6). Тогда

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru =

= Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru = из системы (2.6') получаем =

= Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Так как получили, что любое решение системы линейных уравнений линейно выражается через систему (2.7), доказательство теоремы завершено.

Упражнения

11. Решить системы уравнений методом Гаусса

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

d) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

e) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

12. Исследовать методом Гаусса системы с параметром

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

d) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

13. При каких значениях параметра m система имеет единственное решение?

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

14. Найти общее решение и ФСР ОСЛУ

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

15. Подобрать параметр так, чтобы система уравнений имела решение

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

16. Дана конечная система векторов:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Найти

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

17. Дана система векторов: Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Найти:

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

18. Является ли линейно зависимой следующая система векторов?

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

19. Показать, что данная система векторов является линейно независимой:

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

20. Выяснить, является ли следующая система векторов линейно зависимой. Найти ее базис и ранг.

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

21. Доказать, что если Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru можно единственным образом выразить как линейную комбинацию Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , то Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - линейно независимая система.

22. Найти ранги матриц:

a) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

b) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

c) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ;

d) Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .



Глава 3. Алгебра матриц

Прямоугольные матрицы встречаются настолько часто, что с течением времени возник самостоятельный раздел математики – теория матриц. Ее становление относят к середине прошлого века, но полноту и изящество она приобрела позднее, вместе с развитием линейной алгебры. До сих пор теория матриц остается важным инструментом исследования, хорошо приспособленным и к запросам математики. Здесь будут изложены простейшие результаты теории матриц, с более подробным изложением теории матриц можно познакомиться в книге [7].

Операции над матрицами

Операция сложения (“+”).

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , где каждый из элементов матрицы Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru равен сумме соответствующих элементов слагаемых, то есть:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Например:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Свойства операции сложения матриц:

1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

2. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

3. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Операция умножения на скаляр (“ Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ”)

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Например:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Свойства операции умножения матрицы на скаляр:

4. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

5. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

6. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

7. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Операция умножения матриц

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , где Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Например:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Свойства операции умножения матриц:

8. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , если Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , то матрицы A и B называются перестановочными.

9. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

10. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

11. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

12. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

13. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

14. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Докажем какое-нибудь из свойств операций над матрицами, например, ассоциативность их умножения: Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Доказательство.

Требуется установить, что для произвольных матриц A, B, и C подходящего размера выполнено Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru . Имеем

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru ,

т.е. правая и левая части равенства, во всяком случае, являются матрицами одного размера. Сравним их соответствующие элементы:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Свойство 9 доказано.

Обратная матрица

Определение. Матрицу B будем называть обратной к квадратной матрице A, если Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru , где E= Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru - единичная матрица. Обозначение: Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru .

Свойства обратной матрицы:

1. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

2. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

3. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Определение. Матрицу, полученную из единичной при помощи одного элементарного строчечного или столбцового преобразования первых трех типов, будем называть элементарной матрицей.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Непосредственным подсчетом можно убедиться в справедливости следующей теоремы.

Теорема. Элементарные преобразования первых трех типов данной матрицы дают тот же результат, что и умножение на элементарную матрицу, полученную с помощью строчечных или столбцовых преобразований.

Как следствие, получаем важный результат:

Теорема. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она является неособенной.

Доказательство

А – неособенная Û r(A)=n Û можно элементарными преобразованиями строк привести матрицу А к единичной Û существуют элементарные матрицы Э1, Э2,…, Эs такие, что

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru . Теорема доказана.

Данная теорема дает нам способ вычисления обратной матрицы: приписываем справа (через черту) к матрице A единичную и с помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу A к единичной. Тогда справа от черты стоит матрица A-1:

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Пример.

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru Þ B-1= Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений - student2.ru

Наши рекомендации