Построение сечения конуса и его развертки
Рис. 10
Развертка боковой поверхности прямого кругового конусапредставляет собой круговой сектор с углом φ = d/l × 180 ° при вершине, где d - диаметр основания, l - длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 10 внизу) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 10 конуса).
Используя положение образующих на чертеже и на развертке находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния G0A0 и G0B0 соответствуют фронтальным проекциям G"А " С"В". Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D0 на развертке найдено при помощи отрезка G "D1" - натуральной величины образующей от вершины G до точки D точки E0, - при помощи отрезка G"Е1" (или G'"E'").
Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой B0I0F0E0D0C0A0 и симметричной ей; круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.
На рис. 10 (вверху) показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К0 этой точки на развертке (рис.10). Для построения проведена образующая G0130 через точку К0 на развертке. С помощью отрезка l1 построена горизонтальная проекция 13'. Через нее проведены горизонтальная G' 13' и фронтальная G"13 " проекции образующей G - 13. Отрезок G0K0 = G"K1" на проекции образующей G "7 ". Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G"13".Горизонтальная проекция К' построена с помощью линии связи.
Построение сечения шара
Рис. 11
На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.
Проекции С' и D' построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0'1', построенной с
помощью проекции 1". Проекция С'" и D'" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C"(D") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.
Проекция Е' является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".
Горизонтальная проекция М' произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О'2' , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2" . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Этопозволяет упростить построение линии пересечения.
Построение сечений тора
Рис. 12
В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей γ1(γ1") и γ2(γ2") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью α (α'"). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.
Полуокружность радиуса R2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной
плоскостью γ2) касается проекции плоскости α(следа α'"). Тем самым определяются профильная проекция 3'" и по ней фронтальная проекция 3'" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью γ1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости α (след α'") в двух точках 5'" и 7'" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l1 и l2 на фронтальной проекции для нанесения точек 50, 70 и 30.
Точки 60 , 80 и 40 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей — геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.