Задача. Найдите площадь поверхности треугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно √3

Решение.
Поскольку все ребра треугольной пирамиды равны - она является правильной. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды равна S = a²√3 .
Тогда
S = 3√3

Ответ: 3√3

Задача.
Все ребра правильной треугольной пирамиды равны 4 см. Найдите объем пирамиды

Решение.
Поскольку в правильной треугольной пирамиде высота пирамиды проецируется в центр основания, который одновременно является центром описанной окружности, то

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

Таким образом, высота пирамиды OM может быть найдена из прямоугольного треугольника AOM

AO² + OM² = AM²
OM² = AM² - AO²
OM² = 4² - ( 4√3 / 3 )²
OM² = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Объем пирамиды найдем по формуле V = 1/3 Sh
При этом площадь основания найдем по формуле S = √3/4 a²

V = 1/3 (√3 / 4 * 16 ) ( 4√2 / √3 )
V = 16√2 / 3

Ответ: 16√2 / 3 см

С четырехугольником в основании

Пирамида

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение.

Задача

Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина его диагонали BD равна 6 см. Через точку О, которая является точкой пересечения диагоналей ромба, проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки К до вершин ромба (КА, КВ, КС, КD) если ОК = 8см.

Решение.

В результате построения геометрической фигуры по условию задачи, заметим, что у нас получилась пирамида, в основании которой лежит ромб. Нам необходимо найти величину ребер пирамиды, которые прилегают к ее вершине.

Поскольку диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, то BO равно половине диагонали BD.

BO = BD / 2 = 6 / 2 = 3 см

Поскольку OK по условию задачи является перпендикуляром к плоскости основания пирамиды, то треугольник BOK является прямоугольным. Отсюда, по теореме Пифагора находим величину ребра BK.

BK² = BO² + OK²
BK² = 3² + 8²
BK² =73
BK = sqrt (73), то есть корень квадратный из 73

Поскольку треугольники BKO и DKO равны по двум сторонам и углу (KO - общая сторона треугольников, BO=OD как половины диагонали ромба, а прямой угол образован перпендикуляром по условию задачи), то ребро BK = BD.

Вычислим длину ребра AK. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то зная величину половины одной диагонали и стороны ромба, несложно определить величину половины другой диагонали, то есть:

AB² = BO² + AO²
5² = 3² + AO²
AO² = 5² - 3²
AO² = 16
AO = 4

Аналогичным способом теперь найдем длину ребра AK
AK² = AO² + OK²
BK² = 4² + 8²
BK² = 80
BK = 4 sqrt( 5 ), четыре квадратных корня из пяти

Поскольку треугольники AOK и COK также равны по двум сторонам и углу, то AO = CO.

Ответ: AO и CO равны четыре квадратных корня из пяти, а BO и DO равны корню квадратному из 73

Задача

Высота четырехугольной пирамиды равна 4см. а её апофема создаёт с высотой угол 45 градусов.Найдите боковую поверхность пирамиды.

Решение.

Исходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол.

Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный.

Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной).

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна

a = sqrt( 4² + 4² ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух

Ответ: 64 корня из двух

Задача

Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 24 см,а боковое ребро равно 26 см. Найти: а) площади диагонального сечения пирамиды б) сторону основания пирамиды в) площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.
Поскольку пирамида правильная, то диагональ основания вместе с соответствующими двумя ребрами пирамиды образуют равнобедренный треугольник, площадь которого будет равна площади диагонального сечения пирамиды. Его площадь можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + 24 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 26 - 24 ) )
S = 1/4 sqrt( 76 * 24 * 24 * 28 ) = 1/4 sqrt( 1225728 ) ≈ 276, 78 см² .

Поскольку пирамида правильная, то ее диагональ образует с двумя сторонами основания равнобедренный прямоугольный треугольник. Если обозначить сторону основания как а, то по теореме Пифагора

а² + а² = 24²
2а² = 576
а² = 288
а = sqrt( 288 ) ≈ 16.97 см

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей поверхностей боковых граней, каждая из которых по формуле Герона имеет площадь

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) )
S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + sqrt(288) )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + 26 - sqrt(288) ) )
S = 1/4 sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см² .

То есть площадь боковой поверхности будет равна 4S = sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см² .
Ответ: 1/4 sqrt( 1225728 ) см² , sqrt( 288 ) см, sqrt( 695808 ) см² .