Метод інтегрування частинами
Розділ I
Невизначений інтеграл
означення. функція F(x) називається первісною функції f(x) на проміжку I, якщо для всіх .
Теорема.Якщо функція F(x) є первісною функції f(x) на проміжку I, то функція , де С – довільна стала, також буде первісною даної функції на I.
Правильним є й обернене твердження: кожну функцію, що є первісною функції f(x) на проміжку I, можна подати у вигляді , де С – довільна стала.
Операція знаходження для функції всіх її первісних називається інтегруванням функції і є оберненою операцією відносно диференціювання.
Вираз , де С – довільна стала, називається невизначеним інтеграломі позначається ,тобто = . при цьому вираз називається підінтегральним виразом, а функція f(x) підінтегральною функцією.
отже для того, щоб знайти невизначений інтеграл від заданої функції f(x), потрібно знайти одну з первісних даної функції та додати до неї довільну сталу. правильність інтегрування перевіряють диференціюванням: .
Властивості невизначеного інтеграла
1.
2.
3.
4.
таблиця основних інтегралів
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
Розглянемо основні методи інтегрування.
ЗАДАЧА 1 (1.1-1.30).Знайти інтеграл безпосереднім інтегруванням.
Приклад 1.1 Знайти .
Розв'язання. Подамо даний інтеграл у вигляді суми табличних інтегралів: = = = = =
Відповідь.
ПРИКЛАД 1.2 Знайти .
Розв'язання. = = = = .
Відповідь.
ЗАДАЧА 1. Індивідуальні завдання
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. |
16. | 17. | 18. |
19. | 20. | 21. |
22. | 23. | 24. |
25. | 26. | 27. |
28. | 29. | 30. |
Метод внесення функції під знак диференціала
метод внесення функції під знак диференціала доцільно застосовувати, якщо підінтегральний вираз можна подати у вигляді добутку деякої функції та її диференціала, тобто
.
наведемо деякі корисні співвідношення (таблиця диференціалів):
, |
ЗАДАЧА 2 (2.1-2.30)Знайти невизначений інтеграл за допомогою метода введення функції під знак диференціала.
Приклад 2.1знайти інтеграл .
Розв'язання. = =
=
Відповідь.
приклад 2.2Знайти інтеграл .
Розв'язання. Виділимо повний квадрат у виразі, що знаходиться у знаменнику підінтегрального виразу: . враховуючи, що , знаходимо інтеграл: = =
Відповідь.
ЗАДАЧА 2. Індивідуальні завдання
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. |
10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. |
16. | 17. | 18. |
19. | 20. | 21. |
22. | 23. | 24. |
25. | 26. | 27. |
28. | 29. | 30. |
метод інтегрування частинами.
для знаходження інтегралів від добутку многочленів на трансцендентну функцію (1,2)
1.
2. , а також інтегралів виду
3. та інш.
застосовують формулу , (1)
де - диференційовані функції. В інтегралах першого типу за u слід брати многочлен, а за ту частину підінтегрального виразу, що залишилась. В результаті інтеграл має стати простішим порівняно з початковим. в інтегралах другого типу навпаки за u приймаємо логарифмічну чи обернену тригонометричну функції. в інтегралах третього типу отримуємо лінійне рівняння відносно початкового інтеграла.
задача 3 (3.1-3.30)знайти невизначений інтегралза допомогою методу інтегрування частинами.
приклад 3.1знайти інтеграл .
Розв'язання. Покладаємо , тоді , . Згідно з формулою інтегрування частинами маємо: = + = + .
Відповідь. +
приклад 3.2знайти інтеграл .
Розв'язання. Покладаємо , , тоді , . застосувавши формулу інтегрування частинами, отримуємо: = = - . Інтеграл також знаходимо методом інтегрування частинами. Покладаємо , тоді , = - = - = - +С.
остаточно маємо: = - + +С
Відповідь. - + +С