Задачи для самостоятельного решения. Прямолинейное движение

Прямолинейное движение

1.1. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паровоза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ускорением a=0,1 м/с², человек начал идти в том же направлении со скоростью v=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v₁ поезда в этот момент и путь, пройденный за это время.

[Ответ: 30 c; 3 м/с; 45 м]

1.2. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h=8,6 м два раза с интервалом Δt=3 c. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

[Ответ:19,6 м/c]

1.3. Вертикально вверх подбросили шарик. На одной и той же высоте шарик побывал дважды: через 1,5 с и через 3,5 с после начала движения. Найдите начальную скорость шарика.

[Ответ: 20,5 м/c]

1.4. C балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью v₀=5 м/с. Через t=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

[Ответ: 9,62 м; 14,6 м/с]

1.5. Камень свободно падает без начальной скорости. За какое время камень пролетит третий метр своего пути?

[Ответ: 0,14 с]

1.6. Автомобиль, двигаясь при торможении равноускоренно, проходит за пятую секунду 5 см и останавливается. Какой путь прошел автомобиль за третью секунду этого движения?

[Ответ: 25 см]

1.7. Две материальные точки движутся согласно уравнениям:

X₁=A₁t + B₁t² + C₁t³, X₂= A₂t + B₂t² + C₂t³, где A₁=4 м/с, B₁=8 м/с², C₁= –16м/с³, A₂=2 м/с, B₂= –4 м/с², C₂=1 м/с. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v₁ и v₂ точек в этот момент.

[Ответ: 0,235 c; 5,1 м/c; 0,286 м/c]

1.8.Точкапрошла половину пути со скоростью v₀. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью v₁, а последний участок прошла со скоростью v₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.

[Ответ: v_ср=2v₀(v₁+v₂)/(2v₀+v₁+v₂).]

1.9.Точка движется вдоль оси Х со скоростью, проекция которой v_x как функция времени описывается графиком на рис. 1.12. В момент t=0 координата точки x=0. Изобразить примерные графики зависимостей ускорения а_х, координаты х и пройденного пути s от времени.

	vx -1 -2

Криволинейное движение

1.10. Движение точки по кривой задано уравнениями x=A₁t³ и y=A₂t , где A₁=1 м/с³ , A₂=2 м/с. Найти уравнение траектории точки, ее скорость v и полное ускорение a в момент времени t=0,8 с.

[Ответ: y³-8x=0; 2,77 м/c; 4,8 м/c²]

1.11. Точка движется в плоскости xy по закону: x = bt, y = bt(1-nt), где b и n положительные постоянные, t – время. Найти:

1) уравнение траектории точки у(х); изобразить ее график;

2) скорость и ускорение точки в зависимости от времени;

3) момент t₀, в который вектор скорости составляет угол с вектором ускорения.

[Ответы: 1) y=x-x²n/b; 2) ; 3) t₀=1/n.]

1.12. Радиус-вектор, характеризующий положение частицы А относительно неподвижной точки О, меняется со временем по закону , где и - постоянные векторы, причем ^ ; - положительная постоянная. Найти ускорение частицы и уравнение ее траектории у(х), взяв оси х и у совпадающими по направлению с векторами и соответственно и имеющими начало в точке О.

[Ответ: ; .]

1.13.В момент t=0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси Х. Ее скорость меняется со временем t как , где -начальная скорость, ее модуль v₀=10 cм/с, τ=5 с. Найти:

1) координату х частицы, когда t=6, 10 и 20 с;

2) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

[Ответы: 1) 0,24; 0 и -2 м; 2) 1,1; 9 и 11 с.]

1.14. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t=2 с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v₀и конечную v скорости камня.

[Ответ: 20 м/c; 28 м/c]

1.15.Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с, упало на землю на расстоянии S (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.

[Ответ: 20,4 м]

1.16. Самолет, летевший на высоте h=2940 м со скоростью v=360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии S от нее должен самолет сбросить бомбу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь.

[Ответ: 24,5 с; 2,45 км]

1.17. Тело брошено под некоторым углом ά к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты H траектории.

[Ответ: 45⁰]

1.18.Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями =3 м/cи =4 м/c. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.

[Ответ: м.]

1.19. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью =250 м/c: первый – под углом =60⁰ к горизонту, второй – под углом =45⁰ (азимут один и тот же). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

[Ответ: ]

1.20. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью Определить скорость тангенциальное и нормальное ускорения камня в конце второй секунды после начала движения.

[Ответы: v=35,8 м/c; a_t=5,37м/c²; a_n=8,22м/c².]

1.21. Тело брошено под углом к горизонту. Найти тангенциальное и нормальное ускорения в начальный момент движения.

[Ответы: a_t=4,9 м/c²; a_n=8,55м/c².]

1.22. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности Земли. Скорость его подъема постоянна и равна . Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости by, где b- постоянная, y- высота подъема. Найти зависимость от высоты подъема:

1) величины сноса шара х(у);

2) полного, тангенциального и нормального ускорения шара. [Ответы: 1) x=(b/ 2v₀)y²;2) a=bv₀, .]

1.23.Частица движется в плоскости ху со скоростью =c + bx где и - орты осей X и Y, c и b – положительные постоянные. В начальный момент частица находилась в начале координат. Найти:

1) уравнение траектории частицы у(х);

2) радиус кривизны траектории как функцию х.

[Ответы: .]

1.24. Шарик начал падать с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразился второй раз?

[Ответ: l=8hsina]

Относительность движения

1.25. Ученик наблюдал за встречным движением скорого поезда и электрички. Оказалось, что каждый из поездов прошел мимо мальчика за одно и тоже время t₁=23 c. А в это время пассажир ехал в электричке и определил, что скорый поезд прошел мимо него за t₂=13 c. Во сколько раз скорый поезд длиннее электрички?

[Ответ: 1,3.]

1.26.Корабль движется по экватору на восток со скоростью v₀=30 км/ч. С юго-востока под углом φ=60⁰ к экватору дует ветер со скоростью v=15 км/ч. Найти скорость v^/ ветра относительно корабля и угол φ^/ между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.

[Ответы: =40 км/ч, φ^/=19⁰.]

1.27. Лодка движется относительно воды со скоростью, в n = 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?

[Ответ: ]

1.28.От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, А и В. Обе лодки стали двигаться по взаимно перпендикулярным прямым: лодка А – вдоль реки, а лодка В – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок τ_А/τ_В, если скорость каждой лодки относительно воды в n=1,2 раза больше скорости течения.

[Ответ: τ_А/τ_В=n/ .]