Внутренние силовые факторы

Внутренние силовые факторы. Метод сечений. Напряжения, перемещения и деформации

Внутренние силовые факторы

Силы являются мерой механического взаимодействия тел. Действие окружающих тел на конструкцию заменяется силами, которые называют внешними. Взаимодействия между отдельными элементами или частями конструкции, возникающие под действием внешних сил, называются внутренними силами. Вообще внутренние силы возникают между всеми смежными частицами тела при нагружении.

В сопротивлении материалов считается, что если нет внешних сил, то отсутствуют и внутренние, то есть, справедлива гипотеза об отсутствии начальных внутренних усилий в теле до приложения нагрузки.

Рассмотрим некоторое тело, имеющее форму бруса (рис. 8, а). Пусть к нему приложена некоторая система сил F , F , ..., Fn 1 2 , удовлетворяющая условиям равновесия:

Рисунок 8 – Система сил, приложенная к брусу

Внутренние силы, возникающие в брусе, выявляются только в том случае, если рассечь брус мысленно на две части, например, сечением I (рис. 9).

Такой прием выявления внутренних сил в сопротивлении материалов носит название метода сечений. Внутренние силы по принципу действия и противодействия всегда взаимны. То есть, правая часть бруса действует на левую точно так же, как и левая на правую, и системы внутренних сил воздействия частей бруса друг на друга равны по величине и противоположны по направлению.

Внутренние силы должны быть распределены по сечению так, чтобы деформированные поверхности сечения I при совмещении правой и левой частей тела в точности совпадали (условие неразрывности деформаций). Понятно, что внутренние силы должны быть такими, чтобы удовлетворялись условия равновесия для правой и левой частей бруса в отдельности. Очевидно, что при помощи уравнений равновесия можно определить не закон распределения внутренних сил, а только их равнодействующие, да и то при условии, если все внешние силы заданы.

Напомним, что при составлении уравнений равновесия, момент пары сил удобно изображать в виде вектора, перпендикулярного плоскости действия пары сил и направленного в ту сторону, откуда поворот, совершаемый парой сил, виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 8, б).

Рисунок 9 – Метод сечений

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент (рис. 10, а). Выберем далее систему координат x , y , z .

Рисунок 10 – приведение к равнодействующим внутренним усилиям

Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в его плоскости. Спроектировав главный вектор и главный момент на оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы и три момента. Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами в сечении бруса (рис. 10, б).

Составляющая внутренних сил по нормали к сечению называется нормальной или продольной силой Nz в сечении. Силы Qx и Qy называются поперечными силами. Момент относительно нормальной оси (Mz или Mкр ) называется крутящим моментом, а моменты Mx и My – изгибающими моментами относительно осей x и y . При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части бруса.

Виды деформаций

Каждому из внутренних силовых факторов Nz ,Qx ,Qy ,Mz ,Mx и My соответствует определенный вид деформации бруса. Продольной силе Nz

соответствует растяжение (или сжатие), поперечной силе Qx (или Qy) – сдвиг, крутящему моменту Mz – кручение, а изгибающему моменту Mx (или My) – чистый изгиб в плоскости yz (или xz).

Обычно в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например Mx) возникает и поперечная сила (Qy). Такой случай деформации называется поперечным изгибом (в плоскости yoz). Различные их сочетания, например, сжатие с изгибом, изгиб с кручением и т. п., представляют собой сложное сопротивление.

Метод сечений

Общий прием определения внутренних силовых факторов носит название метода сечений. Рассечем брус плоскостью I , совпадающей с поперечным сечением бруса (рис. 9). В полученном поперечном сечении в общем случае действует шесть внутренних силовых факторов: Nz, Qx, Qy, Mz, Mx и My (рис. 10, б). Поскольку весь брус находился в равновесии (рис. 9, а), то и оставленная его правая часть также находится в равновесии. Тогда внешние силы, приложенные к правой части, будут уравновешиваться внутренними силовыми факторами, действующими на эту часть бруса, т. е. они статически эквивалентны друг другу.

Таким образом, проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении (проекции остальных пяти равны нулю), равна проекции на эту же ось всех внешних сил, приложенных к оставленной части.

Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних усилий в сечении (моменты остальных пяти равны нулю), равен моменту относительно этой же оси всех внешних сил, приложенных к оставленной части.

Например, сила Nz равна сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих на оставленную часть бруса, крутящий момент Mz в поперечном сечении бруса равен сумме моментов относительно оси z всех внешних сил, приложенных к оставленной части бруса т. д.

Для уменьшения вычислительной работы обычно оставляется та часть бруса, на которую действует меньше сил. Суть метода сечений можно в общем виде представить в виде последовательности следующих действий:

1. Мысленно рассекаем брус на две части в пределах исследуемого i – го участка.

2. Оставляем ту часть бруса, на которую действует меньше сил.

3. Заменяем действие условно отброшенной части бруса положительными внутренними силовыми факторами, приведенными к центру тяжести исследуемого сечения бруса.

4. Выбираем для оставленной части бруса скользящую систему координат (начало координат совмещаем с границей участка, положение исследуемого сечения определяется координатой zi , где 0<zi<c, и c – длина i – го участка).

5. Определяем искомые внутренние силовые факторы из уравнений равновесия, которые составляем для оставленной части бруса.

Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается напряжение. Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1Па =1 Н/м2.

Рассмотрим сечение A некоторого тела (рис. 11, а). Зафиксируем в нем точку k с единичным вектором нормали n. В окрестностях этой точки выделим малую площадку ∆A. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через ∆R . За среднее напряжение на площадке ∆A принимаем отношение:

Рисунок 11 – получение напряжений на рисунке

Будем уменьшать площадку ∆A, стягивая ее в точку k. Поскольку среда непрерывна, возможен предельный переход при ∆A →0. В пределе получаем:

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке k в сечении A. В общем случае направление вектора полного напряжения р не

совпадает с направлением вектора нормали n (рис. 2.4, б). Полное напряжение р может быть разложено на три составляющие по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Проекция вектора р на направление вектора n обозначается σn или σz называется нормальным напряжением. Составляющие в плоскости сечения называются касательными

напряжениями и обозначаются через проекции τn на ось x (τx) и на ось y (τy).

Очевидно, что:

=

Нормальное напряжение в данной точке по определенному сечению характеризует интенсивность сил отрыва или сжатия частиц элемента конструкции, расположенных по обе стороны этого сечения, а касательное напряжение – интенсивность сил, сдвигающих эти частицы в плоскости рассматриваемого сечения.

На рис. 12 в поперечном сечении показаны нормальные и касательные напряжения и их статические эквиваленты – внутренние силы.

Рисунок 12 - Напряжения

Напряжения будут связаны с соответствующими внутренними силами следующими зависимостями:

Перемещения

При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат oxyz (рис. 13). Пусть положение некоторой точки M определено. Под действием внешних сил она меняет положение в пространстве (точка M1). Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец в той же точке деформированного тела, называется вектором полного перемещения точки ( ). Его проекции на оси носят название перемещений по осям. Они обозначаются через u, v и w соответственно осям x, y и z.

Аналогично вводится понятие углового перемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям x, y и z.

Рисунок 13 – векторное определение перемещения

Допущение, при котором считается, что перемещения u, v и w любой точки являются малыми по сравнению с общими геометрическими размерами тела, носит название принципа начальных размеров.

Деформации

Для того чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров вводится понятие деформации.

Через точку M в направлениях осей x, и y проведем бесконечно малые отрезки длиной dx и dy. После приложения нагрузки к телу точка M переместится в положение M1, а длины этих отрезков и угол между ними изменятся на ∆dx , ∆dy и γxy соответственно (рис. 14).

Рисунок 14 – перемещения и деформации

Отношение приращения длины отрезка ∆dx к его начальной длине dx будем называть линейной деформацией (эпсилон) в точке M вдоль оси x, т.е. . Если рассматривать деформации в направлении других координатных осей, то имеем и .

Изменение первоначально прямого угла между отрезками длиной dx и dy после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, будем называть угловой деформацией γxy (гамма) в точке M в плоскости xy. Аналогично γyz и γzx будем называть угловыми деформациями в плоскостях yz и zx .

Линейные и угловые деформации – величины безразмерные. Деформацию εx часто называют относительной линейной деформацией, а γxy – относительным сдвигом.

Совокупность линейных деформаций по различным направления и угловых деформаций по различным плоскостям, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.