Уравнение Менделеева — Клапейрона

Оно выведено на основе объединенного закона Бойля-Мариотта и Гей-Люссака с применением закона Авогадро. Для одной грамм-молекулы любого вещества, находящегося в идеальном газовом состоянии, уравнение Менделеева-Клапейрона имеет выражение:

или PV = RT (11) .

В том случае, если имеется не один, а n молей газа выражение принимает вид:

PV = nRT (12) ,

где R—универсальная газовая постоянная, не зависящая от природы газа.

Так как число грамм-молей газа , где m— масса газа, а М—его молекулярная масса, то выражение (12) принимает вид:

(13).

Числовое значение R зависит от единицы измерения дав­ления и объема. Величина ее выражается в единицах энергия/моль´град. Для нахождения числовых значений R используем уравнение (11), применив его для 1 моля идеального газа, находящегося в нормальных условиях,

.

Подставив в уравнение (11) числовые значения Р=1 атм, T= 273° и V = 22,4 л, получаем

В международной системе единиц СИ давление выра­жается в ньютонах на м² (н/м²), а объем в м³. Тогда .

Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона можно производить следующие расчеты: а) нахождение физи­ческих параметров состояния газа по его молекулярной массе и другим данным, б) нахождение молекулярной мас­сы газа по данным о его физическом состоянии (см. при­мер 22).

Пример 11. Сколько весит азот, находящийся в газгольдере диаметром 3,6 м и высотой 25 м при темпе­ратуре 25ºС и давлении 747 мм рт. ст.?

Дано:   Р = 747 мм рт.ст. Т = 25ºС = 25 + 273 = 298 К d = 3,6 м Мол.масса азота 28 Найти: m

Решение:   Находим объем газгольдера, т.е. объем, который занимает азот: ; . Используем уравнение Менделеева-Клапейрона и находим: . Подставив, вычисляем результат:

IIример 12. В колбе емкостью 500 мл при 25ºС находится 0,615 г оксида азота (II). Каково давление газа в атмосферах, в н/м²?

Дано:   V = 500 мл = 0,5 л = 5´10-4 м3 Т = 25ºС = 25 + 273 = 298 К m = 0,615 г Мол.масса оксида азота 30 Найти: Р

Решение: Из уравнения Менделеева-Клапейрона находим: . Проведя подстановку, вычисляем: Для определения давления газа в н/м2 следует подстав­лять значения объема в м3, a R = 8,315 н´м/(моль´град), тогда

Пример 13. Масса колбы емкостью 750 см³, на­полненной кислородом при 27°С, равна 83,35 г. Масса пустой колбы 82,11 г. Определить давление кислорода и мм рт.ст. на стенки колбы.

Дано:   V = 750 см3 = 750 мл Т = 27ºС = 27 + 273 = 300 К m0 = 82,11 г mобщ = 83,35 г Мол.масса кислорода 32 Найти: Р (мм рт.ст.)

Решение: Масса кислорода равна m= 83,35— 82,11 = 1,24 г. Объем кислорода равен емкости колбы, в которой он содержится V = 750 мл. Для определения давления кис­лорода на стопки колбы используем уравнение Менделеева-Клапейрона: . Так как масса выражена в граммах, а объем в милли­литрах, то для определения величины давления и мм рт. ст. следует подставить значения R = 62400 мм рт.ст.´мл/(моль´град). Тогда

Закон Дальтона

Сформулирован этот закон так: общее давление смесей газов, не реагирующих друг с другом, равно сумме пар­циальных давлении составных частей (компонентов).

P = p₁ + p₂ + p₃ + ….. + p_n (14)

где Р — общее давление смеси газов; p₁, p₂, p₃, …., p_n – парциальные давления компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление, оказы­ваемое каждым компонентом газовой смеси, если предста­вить этот компонент занимающим объем, равный объему смеси при той же температуре. Иными словами, парциаль­ным давлением называется та часть общего давления га­зовой смеси, которая обусловлена данным газом.

Из закона Дальтона следует, что при наличии смеси газов п в уравнении (12) представляет собой сумму числа молей всех компонентов, образующих данную смесь, а Р— общее давление смеси, занимающей при температу­ре Т объем V.

Зависимость между парциальными давлениями и общим выражается уравнениями:

; ; (15а) ,

где n₁, n₂ , n₃ — число молей компонента 1, 2, 3, соответ­ственно, в смеси газов.

Отношения называются мольными долями данного компонента.

Если мольную долю обозначить через N, то парциальное давление любого i-го компонента смеси (где i = 1,2,3,...) будет равно:

(15б) .

Таким образом, парциальное давление каждого компо­нента смеси равно произведению его мольной доли па общее давление газовой смеси.

Помимо парциального давления у газовых смесей раз­личают парциальный объем каждого из газов v₁, v₂, v₃ и т. д.

Парциальным называют объем, который занимал бы отдельный идеальный газ, входящий в состав идеальной смеси газов, если бы при том же количестве, он имел давление и температуру смеси.

Сумма парциальных объемов всех компонентов газовой смеси равна общему объему смеси

V = v₁, + v₂ + v₃ + ... + v_n (16) .

Отношение и т. д. называется объемной долей первого, второго и т.д. компонентов газовой смеси. Для идеальных газов мольная доля равна объемной доле. Следовательно, парциальное давление каждого ком­понента смеси равно также произведению его объемной доли на общее давление смеси.

; ; p_i = r_i´P (17).

Парциальное давление обычно находят из величины общего давления с учетом состава газовой смеси. Состав газовой смеси выражают в весовых процентах, объемных процентах и в мольных процентах.

Объемным процентом называется объемная доля, уве­личенная в 100 раз (число единиц объема данного газа, содержащегося в 100 единицах объема смеси)

;

Мольным процентом q называется мольная доля, уве­личенная в 100 раз.

;

Весовой процент данного газа — число единиц массы его, содержащихся в 100 единицах массы газовой смеси.

;

где m₁, m₂ – массы отдельных компонентой газовой смеси; m – общая масса смеси.

Для перехода от объемных процентов к весовым, что бывает необходимым в практических расчетах, пользуют­ся формулой:

(18) ,

где r_i(%) — объемное процентное содержание i-гo компонен­та газовой смеси; M_i —молекулярная масса этого газа; М_ср - средняя молекулярная масса смеси газов, которую вычисляют по формуле

М_ср = М₁´r₁ + M₂´r₂ + M₃´r₃ + ….. + M_i´r_i (19)

где М₁, M₂, M₃, M_i — молекулярные мaccы отдельных газов.

Если состав газовой смеси выражен количеством масс отдельных компонентов, то среднюю молекулярную массу смеси можно выразить по формуле

(20) ,

где G₁, G₂, G₃, G_i – доли масс газов в смеси: ; ; и т.д.

Пример 14. 5 л азота под давлением 2 атм, 2 л кислорода под давлением 2,5 атм и 3 л углекислою газа под давлением 5 атм перемешаны, причем объем, пре­доставленный смеси, равен 15 л. Вычислить, под каким давлением находятся смесь и парциальные давления каж­дого газа.

Решение

Азот, занимавший объем 5 л при давлении Р₁ = 2 атм, после смешения с другими газами распространился в объе­ме V₂ = 15 л. Парциальное давление азота р_N2= Р₂ нахо­дим из закона Бойля-Мариотта (P₁V₁ = P₂V₂). Откуда

Парциальное давления кислорода и углекислого газа на­ходим аналогичным способом:

;

Общее давление смеси равно .

Пример 15. Смесь, состоящая из 2 молей водоро­да, некоторого количества молей кислорода и 1 моля азота при 20°С и давлении 4 атм, занимает объем 40 литров. Вычислить число молей кислорода в смеси и парциальные давления каждого из газов.

Решение

Из уравнения (12) Менделеева-Клапейрона находим общее число молей всех газов, составляющих смесь

;

Число молей кислорода в смеси равно

;

Парциальные давления каждого из газов вычисляем по уравнениям (15а):

; ;

Пример 16. Смесь газов имеет следующий объем­ный состав: водорода — 3%, двуокиси углерода — 11%, окиси углерода — 60%. Вычислить парциальные давления состав­ляющих смесь газов, если общее давление газовой смеси равно 1 атм. Определить массу 80 м³ этом смеси при данном давлении и температуре 15ºС.

Решение

Парциальные давления отдельных газов в смеси можно вычислить, используя уравнение (17) p_i = r_i´P :

; ;

;

Для определения массы газовой смеси вначале определя­ем ее среднюю молекулярную массу по формуле (19)

М_ср = 2´0,03 + 44´0,11 + 28´0,26 + 28´0,60 = 28,98 .

Используя уравнение (13), находим

, откуда

Пример 17. Состав паров бензольных углеводоро­дов над поглотительным маслом в бензольных скрубберах, выраженный в единицах массы, характеризуется такими величинами: бензола C₆H₆ — 73%, толуола С₆Н₅СН₃ - 21%, ксилола С₆Н₄(СН₃)₂ — 4%, триметилбензола С₆Н₃(СН₃)₃ — 2%. Вычислить содержание каждой составной части по объе­му и парциальные давления паров каждого вещества, если общее давление смеси равно 200 мм рт. ст.

Решение

Для вычисления содержания каждой составной части смеси паров по объему используем формулу (18)

.

Следовательно, необходимо знать М_ср , которую можно вычислить из формулы (20):

.

Тогда

Содержание каждой составной части смеси паров в объемных процентах равно

; ;

;

Парциальные давления каждого компонента в смеси вычисляем, используя уравнение (17)

p_{бензола} = 0,7678´200 = 153,56 мм рт.ст. ; p_{толуола} = 0,1875´200 = 37,50 мм рт.ст. ;

p_{ксилола} = 0,0310´200 = 6,20 мм рт.ст. ; p_{триметилбензола} = 0,0137´200 = 2,74 мм рт.ст.