Тема 10. Методика изучения деления трехзначных и многозначных чисел

План темы

I. Методика изучения деления на однозначное число.

II. Методика изучения деления на числа, оканчивающиеся нулями.

III. Методика изучения деления чисел на двузначные и трехзнач­ные числа.

IV. Особенности и общие черты устных и письменных вычислении.

Основное содержание

I. Устные приемы деления трехзначных и многозначных чисел основаны на знании табличных, особых и внетабличных случаев деления чисел в пределах сотни.

Например:

180 : 9 = 18 дес. : 9 = 2 дес. = 20

460 : 2 = 46 дес. : 2 = 23 дес. = 230, или :

460 : 2 = (400 + 60) : 2 = 400 : 2 + 60 : 2 = 4 с. : 2 + 6 дес. : 2 = 2 с. + 3 дес. = =230.

- Прием письменного деления на однозначное число вклю­чает следующие операции: замену делимого суммой удобных слагаемых - выделение неполных делимых, деление каждого не­полного делимого на число и сложение полученных частных.

- Начинается письменное деление с единиц высших разря­дов делимого.

- Поэтапный подход к формированию письменного алго­ритма деления:

1-й этап – единицы каждого разряда делимого без остатка делятся на однозначное число;

2-й этап – первое неполное делимое — однозначное число, кото­рое делится с остатком на делитель;

3-й этап – первое неполное делимое – двузначное число;

4-й этап – случаи с нулями в середине или на конце частного;

5-й этап – деление чисел, оканчивающихся нулями.

- Теоретической основой письменного деления является правило деления суммы на число, табличное деление, деление с остатком.

- Выделение первого неполного делимого и определение его десятичного состава является приемом, позволяющим опре­делить количество цифр частного, а это является важным спосо­бом формирования осознаваемой вычислительной деятельности.

II. Деление на числа, оканчивающиеся нулями.

- Теоретической основой приема деления на числа, оканчи­вающиеся нулями, является правило деления числа на произведение:

16 : (2 ∙ 4) = 16 : 8 = 2

16 : (2 ∙ 4) = (16 : 2) : 4 = 8 : 4 = 2

16 : (2 ∙ 4) = (16 : 4) : 2 = 4 : 2 = 2

Вывод: разделить число на произведение можно следующими способами:

1) вычислить произведение и число разделить на полученный ре­зультат;

2) разделить число на первый множитель и полученный результат разделить не второй множитель;

3) разделить число на второй множитель и полученный результат разделить на первый множитель.

- Закреплению знаний служит выполнение заданий на объ­яснение по учебнику деления числа на произведение; вычисление различными способами; определение рационального способа и вычисление удобным способом; решение соответствующих примеров с «окошками», сравнение выражений вида:

8 ∙ (4 ∙ 2) и 8 : (4 ∙ 2).

- Деление на числа, оканчивающиеся нулями, опирается на вычислительный прием деления чисел на 10, 100, 1000.

1) этот прием можно объяснить с помощью деления по содержа­нию. Например:

270 : 10 = 27 дес. : 1 дес. = 27 (27 дес. разделить по 1 десятку, по­лучится 27)

2700 : 100 = 27 с. : 1 с. = 27

27000 : 1000 = 27 тыс. : 1 тыс. = 27.

Сравнение делимого и частного приводит учащихся к выводу, чтобы число разделить на 10, 100, 1000 достаточно в делимом отбросить столько нулей, сколько их в делителе.

2) при делении с остатком на 10, 100, 1000 ученики определяют, что без остатка на 10, 100, 1000 делятся числа, оканчивающиеся соответствующим количеством нулей. Пользуясь приемом деления с остатком, например: 59 : 10 = 5 (ост. 9), 7589 : 100 = 75 (ост. 89), сравнивают деление и полученный результат, приходят к выводу, что при делении с остатком на 10, 100, 1000 достаточно в делимом определить справа столько цифр, сколько нулей в делителе и прочитать число, обозначенное этими цифрами, как остаток, а число, обозначенное цифрами слева, частное.

- Для закрепления полученных знаний решаются соответ­ствующие примеры с использованием приема подчеркивания: в каждом делимом одной чертой подчеркивается частное, двумя – остаток.

Ученики подводятся к выводу - при делении на 10 частное равно количеству всех десятков в числе, на 100 - всех сотен в числе, на 1000 - всех тысяч в числе, а числа, записанные в низ­ших разрядах, являются остатками.

- После проведенной подготовительной работы вводится прием деления на числа, оканчивающиеся нулями.

???

216 дес. – первое неполное делимое, значит, в частном будут две цифры. 216 : 10, получаем 21 и делим 21 : 4, получаем 5 – первая цифра в частном. Умножаем 5 на 40, получаем 200, вычитаем 200 из 216, получаем остаток 16. 16 < 40, значит цифра 5 подоб­рана верно. Второе неполное делимое 160 ед. 160 : 40, для этого 160 : 10, получаем 16, 16 : 4, получаем 4 – число единиц в част­ном. Дальше объяснение аналогичное делению первого неполно­го делимого. Читаем результат: 54.

III. Деление чисел на двузначные и трехзначные числа основано на изучении приема деления на числа, оканчивающиеся нулями.

Сначала округляем делитель, затем делимое делим на по­лученное круглое число, получаем пробную цифру частного, ко­торую проверяем устно, если она подходит, пишем в частном.

Трудоемкими являются случаи, требующие нескольких проверок цифры частного.

IV. Особенности и общие черты устных и письменных вычислений.

- Особенности устных и письменных вычислений.

Устные вычисления характеризуются следующими призна­ками: выполняются мысленно; выполняются без записи проме­жуточных результатов или с записью в строчку; вычисления мо­гут выполняться разными способами, опираться на различную теоретическую основу; обычно начинаются вычисления с единиц высших разрядов.

Письменные вычисления характеризуются следующими признаками: записи выполняются в процессе вычисления, при этом записываются не только данные числа и окончательный ре­зультат, но и промежуточные результаты; записи выполняются «в столбик» или «углом»; вычисления кроме деления начинаются с единиц низших разрядов; вычисления выполняются не разными способами, а по установленным правилам.

- Общие черты устных и письменных вычислений следую­щие: они имеют общую задачу — по данным числам и действиям найти результат; способы вычислений обосновываются свойст­вами арифметических действий; выполняются вычисления путем приведения данного случая вычислений к случаям, изученным ранее.

Таким образом, изучение арифметических действий вклю­чает в себя устные и письменные вычисления в концентрах «Де­сятою», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа».

Тема. 11. Общие вопросы методики работы над текстовыми задачами

План темы

I. Характеристика текстовой задачи.

II. Усвоение содержания задачи.

III. Виды интерпретации текстовых задач.

Основное содержание

I. Характеристика текстовой задачи.

- Текстовая задача — описание некоторой ситуации (явле­ния, процесса) на естественном или математическом языке с тре­бованием: либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации; либо установить наличие или отсут­ствие некоторого отношения между ее компонентами; или опре­делить вид этого отношения; либо найти последовательность требуемых действий.

Т.е. это словесная модель ситуации, явления, события процесса, в которой описываются их количественные и функциональные характеристики.

- Структура текстовой задачи включает в себя:

1) условие, в котором: а) задается ситуация; б) предметная область задачи с множествами и их числовыми характеристиками или с величинами и их значениями, или просто с числами; в) числовые данные; г) взаимосвязи между данными, а также между данными и искомыми;

2) требование найти неизвестный компонент. Требование может быть выражено в форме вопроса;

3) решение задачи – раскрытие заданных в задаче связей между данными и искомыми, выбор и выполнение соответствующих арифметических действий;

4) ответ задачи, как ответ на поставленный в задаче вопрос.

- Значение текстовых задач следующее: образовательное – большинство математических понятий раскрывается через тексто­вые задачи; развивающее – процесс обучения решению задач слу­жит математическому развитию учащихся; воспитательное – задачи служат нравственному, эстетическому, экологическому, экономи­ческому и другим видам воспитания учащихся; практическое - ра­бота над текстовыми задачами служит формированию практиче­ских приемов и навыков, необходимых в жизни.

II. Усвоение содержания задачи включает в себя:

- чтение задачи вслух, про себя; 1

- семантический анализ задачи, представление того, о чем гово­рится в задаче, объяснение новых слов, словесное рисование ситуаций;

- первое повторение задачи: от объектов - к числовым данным с одновременной интерпретацией или моделированием задачи;

- по модели задачи второе повторение задачи: от числовых дан­ных - к объектам и выделение требования задачи.

III. Виды интерпретации задач:

- текстовая краткая запись, которая содержит основные слова, характеризующие предметную область задачи, числовые дан­ные и вопрос или требование задачи;

- предметная иллюстрация задачи, в которой множества из пред­метной области задачи иллюстрируются предметами, рисунка­ми, предметными картинками;

- схематическая иллюстрация задачи, когда каждый объект, о ко­тором говорится в задаче, иллюстрируется с помощью отдель­ных геометрических фигур;

- схематическая краткая запись, когда множества объектов из предметной области задачи иллюстрируются с помощью гео­метрических фигур, соответствующих всему множеству;

- графическая иллюстрация задачи, когда множество обьектов представляются отрезками;

- табличная краткая запись, в которой величины из предметной области располагаются в графах таблицы;

- круговые и столбчатые диаграммы.

Интерпретация и моделирование задачи должны выполнять свою главную функцию - облегчение работы над задачей.