Задачи для самостоятельного решения. 5.1.Система состоит из трех шаров с массамиm1= 1 кг, m2= 2 кг, m3= 3 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке

5.1.Система состоит из трех шаров с массамиm₁= 1 кг, m₂= 2 кг, m₃= 3 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке. Найдите величину скорости центра масс этой системы, если скорости шаров соответственно равны v₁ = 3 м/с, v₂ = 2 м/с, v₃ = 1 м/с.

[Ответ: 2/3]

5.2. В лодке массой m₁= 240 кг стоит человек массой m₂= 60 кг. Лодка плывет со скоростью v₁ = 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со скоростью v = 4 м/с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки.

[Ответ: 1 м/c; 3 м/c]

5.3. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека 60 кг, масса доски 20 кг. С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) 1 м/с?

[Ответ: 0,75 м/c]

5.4. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека 60 кг, масса доски 20 кг. На какое расстояние d: 1) передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски; 2) переместится человек относительно пола; 3) переместится центр масс системы тележка – человек относительно доски и относительно пола. Длина l доски равна 2 м.

[Ответ: 1,5 м; 0,5 м; 1,5 м, 0]

5.5. На ж/д платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M = 15 т. Орудие стреляет в верх под углом φ= 60⁰ к горизонту в направлении пути. С какой скоростью v₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m= 20 кг и он вылетает со скоростью v₂ = 600 м/с.

[Ответ: 0,4 м/c.]

5.6. Снаряд массой m= 10 кг обладал скоростью v = 200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой m₁= 3 кг получила скорость u₁= 400 м/с в прежнем направлении. Найти скорость u₂ второй, большей части после разрыва.

[Ответ: 114 м/c]

5.7.В предыдущей задаче найти, с какой скоростью u₂ и под каким углом φ₂ к горизонту полетит большая часть снаряда, если меньшая полетит вперед под углом φ₁=60⁰ к горизонту.

[Ответ: 250 м/c; -36,6⁰]

5.8.Частица массы 1 г, двигавшаяся со скоростью , испытала абсолютно неупругое столкновение с другой частицей, масса которой 2 г и скорость . Найти скорость образовавшейся частицы – вектор и его модуль, - если проекции векторов и даны в системе СИ.

[Ответ: , ]

5.9. Через неподвижный блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом – уравновешивающий груз массы М. Человек массы m совершил перемещение относительно лестницы вверх и остановился. Пренебрегая массами блока и веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение центра масс этой системы.

[Ответ: ]

5.10. Камень брошен вверх под углом φ=60⁰ к плоскости горизонта. Кинетическая энергия камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую и потенциальную энергии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

[Ответ: 5 Дж; 15 Дж.]

5.11. Тело массой 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью v₀ = 20 м/с, через t=3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

[Ответ: 633 Дж.]

5.12. При выстреле из орудия снаряд массой m₁= 10 кг получает кинетическую энергию Т₁=1,8 МДж. Определить кинетическую энергию Т₂ ствола орудия вследствие отдачи, если масса m₂ ствола орудия равна 600 кг.

[Ответ: 30 кДж.]

5.13. В баллистический маятник массой М=5 кг попала пуля массой m=10 г и застряла в нем. Найти скорость пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h=10 см.

[Ответ: 707 м/c.]

5.14. В точке максимального подъема снаряд, выпущенный из орудия вертикально вверх, разорвался на два осколка. Первый осколок массой m₁, двигаясь вертикально вниз, упал на землю, имея скорость в 1,25 раза больше начальной скорости снаряда v₀, а второй осколок массой m₂ при касании поверхности земли имел скорость в 1,8 раз большую v₀. Чему равно отношение масс m₁/m₂ этих осколков? Сопротивлением воздуха пренебречь.

[Ответ: 2.]

5.15. На горизонтальной поверхности лежит стальной кубик. В верхнюю грань кубика ударяется летящий по воздуху шарик, изготовленный из пластичного материала. Скорость шарика v₀ в момент удара составляла угол α=30⁰ с горизонтом. При столкновении 50% энергии шарика переходит в тепло, а сам шарик отражается от кубика и продолжает полет под некоторым углом β к горизонту с энергией в три раза меньшей первоначальной. Определите величину этого угла. Масса кубика в два раза больше массы шарика.

[Ответ: 60⁰.]

5.16.Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами m₁ и m₂ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были и .

[Ответ: , где ]

5.17. Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются на горку с одинаковой начальной скоростью. Какой цилиндр поднимется выше? Найдите соотношение между высотой подъема сплошного цилиндра h₁ и полого h₂.

[ Ответ: h₁=0,75 h₂]

5.18.На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Найдите работу, совершаемую этой силой при перемещении частицы в точку с координатами (4;3).

[Ответ: 24 Дж]

5.19.Частица массы m движется по окружности радиуса R с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону , где с – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые t секунд после начала движения.

[ Ответ: ]

5.20.Небольшое тело массы m находится в горизонтальной плоскости в точке О. Телу сообщили горизонтальную скорость . Найти:

a) среднюю мощность, развиваемую силой трения за все время движения, если коэффициент трения , m=1кг и м/с;

б) максимальную мгновенную мощность силы трения, если коэффициент трения меняется по закону сx, где с - постоянная, x – расстояние от точки О.

[Ответ: ]

5.21.Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в отношении 1 : 3. На ее правый конец падает тело массой m₂=2кг, скорость которого в момент удара v₂. С какой скоростью начнет двигаться тело массой m₁=1кг, если после удара тело массой m₂=2кг полностью теряет свою скорость.

Рис. 5.5. к задаче №5.21.

[Ответ: v₁=6v₂]

5.22.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R=2 м, стоит человек массой m₁=80 кг. Масса m₂ платформы равна 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью w будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью v=2 м/c относительно платформы.

[Ответ: 0,4 рад/c]

5.23.Платформа в виде диска радиусом R=1 м вращается по инерции с частотой n₁=6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг∙м². Момент инерции человека рассчитать как для материальной точки.

[Ответ: 10 мин^-1]

5.24. Найти наибольшее и наименьшее расстояние планеты А от Солнца С, если в некоторый момент времени она находилась на расстоянии и имела скорость , причем угол между радиусом-вектором и вектором равен (см. рис).

Рис. 5.6. к задаче №5.24.

[Ответ: , где ]

5.25.Однородный шар радиуса r начинает скатываться без скольжения с вершины сферы радиуса R. Найти угловую скорость шара после отрыва от поверхности сферы.

[Ответ: ]

§ 6. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Краткая теория

Идеальным называется газ, молекулы которого имеют пренебрежимо малый собственный объем и не взаимодействуют друг с другом на расстоянии. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева):

, (6.1)

где р - давление; V – объем; T – термодинамическая температура; m – масса газа; M – молярная масса газа; R=8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная; m/M=n – количество вещества.

Один моль любого газа содержит одно и то же число молекул N_A, называемое постоянной Авогадро: N_A= моль^-1. Если m₀ – масса одной молекулы, то масса произвольного количества вещества n равна

. (6.2)

Молярным объемомназывается величина V_m=V/n. Cогласно закону Авогадро, при одинаковых давлениях и температурах молярные объемы различных газов одинаковы.

Закон Бойля-Мариотта

pV=const при T=const, m=const. (6.3)

Закон Гей-Люссака

, или при p=const, m=const. (6.4)

Закон Шарля

p=p₀ (1+αt), или p/T=const при V=const, m=const, (6.5)

где t - температура по шкале Цельсия; V₀ и p₀ – соответственно объем и давление при 0 ⁰С; коэффициент К^-1.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

, (6.6)

где k – постоянная Больцмана (k=R/N_A= Дж/K), n – концентрация молекул газа (число молекул в единице объема n=N/V, где N- общее число молекул).