Алгоритм исследования функции на экстремум
(с помощью второй производной).
1. Находим область определения функции f (x).
2. Находим производную f′(x) и критические точки.
3. Находим f″(x) и определяем знак f″(x) в каждой стационарной точке.
4. Делаем выводы о наличии и характере эктремумов в стационарных точках.
5. Вычисляем экстремальные значения функции.
Пример 3. Найти экстремумы функции f (x) = 2x3 + 3 x2 - 12x + 5.
1. Область определения : (-¥ , +¥).
2. f ′(x) = 6x2 + 6x - 12. f ′(x) = 0; 6(x2 + х - 2) = 0 Þ х = 1, х = - 2.
3. f ″(x) = 12x + 6. f ″(1) = 18 > 0, f ″(- 2) = - 18 < 0.
4. x = 1 - точка минимума, х = - 2 - точка максимума.
5. f max = f (- 2) = 2(- 2)3 + 3(- 2)2 - 12(- 2) + 5 = 25, f min = f (1) = - 2.
Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:
| f'(x1) | f"(x1) | Характер критической точки |
| - | точка максимума | |
| + | точка минимума | |
| неизвестна | ||
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция y=f (x) непрерывна на отрезке [а b]. Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения. Будем предполагать, что на данном отрезке функция f (x) имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка [а,b], то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом. Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезков.
Итак, функция на отрезке [а,b] достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно достигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
1. Находим критические точки функции.
2. Находим значения функции только в тех критических точках, которые находятся внутри отрезка [a,b].
3. Находим значения функции на концах отрезка, т.е. f(a), f(b).
4. Среди всех значений функции, найденных в п.2 и в п.3, выбираем наибольшее и наименьшее.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Определение 4
Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вверх на интервале
(a, b), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.
Мы говорим, что кривая обращена выпуклостью вниз на интервале
(b, c), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.
Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Докажем следующую теорему.