Аналитический расчет трехшарнирной арки

Определение опорных реакций

При действии внешней нагрузки на трехшарнирную арку (рис. 3.3) в каждой ее опоре возникает по две реакции. Всего, таким образом, имеется четыре неизвестные реакции – две вертикальные R_A, R_B и две горизонтальные Н_A и Н_B. Для расчета трехшарнирной арки кроме трех уравнений равновесия, которые дает статика для системы сил, расположенной в одной плоскости, можно составить четвертое уравнение, основанное на том, что сумма моментов всех сил, приложенных по одну сторону от ключевого шарнира С, равна нулю. Действительно, это уравнение для изгибающего момента в поперечном сечении, а в шарнире момент отсутствует.

Для трехшарнирной арки (рис. 3.3) при определении реакций будут записаны следующие уравнения:

Sm_B = 0, - R_Al + P₁(l – a₁) + P₂a₂ = 0, (а)

R_A = [P₁(l – a₁) + P₂a₂]/l.

Sm_A = 0, R_Bl – P₁a₁ – P₂(l – a₂) = 0, (б)

R_B = [P₁a₁ + P₂(l – a₂)]/l.

Уравнения (а) и (б) для вычисления вертикальных реакций имеют тот же вид, что и уравнения в балочной системе. Для вычисления распора запишем следующие уравнения:

Sx = 0, H_A – H_B = 0, H_A = H_B = H.

Sm_C^пр = 0, R_Bl₂ – P₂(l₂ – a₂) – H_Bf = 0, (в)

H_B = H = [R_Bl₂ – P₂(l₂ – a₂)]/f, или:

(3.1)

В выражении (3.1) М_С^бал представляет собой изгибающий момент в сечении С в балке, перекрывающей тот же пролет и воспринимающей заданную на трехшарнирную арку вертикальную нагрузку (рис. 3.3). Из формулы (3.1) следует, что величина распора Н обратно пропорциональна стреле подъема арки f.

Определение внутренних усилий в арке

от вертикальной нагрузки

При действии на арку только вертикальных нагрузок (рис. 3.4, а) изгибающий момент в сечении с абсциссой х равен:

M_x = R_Ax – P₁(x - a₁) – P₂(x - a₂) – Hy,

или:

М_x = M_x^бал - H∙y, (3.2)

где М_х^бал — изгибающий момент в балке (рис. 3.4, б) от той же нагрузки в сечении с абсциссой х (так называемый балочный момент). Формулой (3.2) удобно пользоваться при построении эпюры моментов в арке. Значения М_х^бал непосредственно берут из эпюры моментов, построенной для балки. Величину распора находят по формуле (3.1).

Полученная формула для М_х наглядно показывает уменьшение изгибающего момента в арке по сравнению с балкой, что подтверждает экономичность арочной конструкции по сравнению с балочной. Это видно из построений на рис. 3.4,г, где показано совмещение балочной эпюры моментов и кривой, соответствующей слагаемому Н∙у в формуле (3.1). На рис. 3.4, д показан вид эпюры моментов М_х в арке.

Аналогичные формулы можно получить для поперечной Q_x и продольной N_x сил. Для этого спроецируем все приложенные слева от сечения n – n силы (рис. 3. 4, в) сначала на нормаль к оси арки в сечении с абсциссой х, а затем на касательную к ней:

Q_x = (R_A – P₁ – P₂)cosj_x – Hsinj_x,

N_x = + (R_A – P₁ – P₂)sinj_x + Hcosj_x.

Нетрудно убедиться, что величина, стоящая в круглых скобках в записанных выше выражениях, представляет собой величину поперечной силы в балке в сечении с той же абсциссой х; тогда эти формулы примут вид:

Q_x = Q_x^бал cosj_x - Нsinj_x, (3.3)

N_x = Q_x^бал sinj_x + Hcosj_x. (3.4)

Отметим, что в арке принято считать N > 0 при сжатии.

Рациональная ось арки

Из формулы (3.2) следует, что в том случае, когда очертание оси арки совпадает с очертаниями балочной эпюры моментов М^бал, называемой кривой давления, т. е. если

(3.5)

то в такой арке изгибающий момент М_х = 0.

Уравнение (3.5) называют уравнением рациональной оси арки. На рис. 3. 5, в приведены очертания арок с рациональной осью для различных случаев нагружения.

Пример 3.1Для заданной трехшарнирной арки с размерами, показанными на рис. 3. 6, вычислить значения внутренних усилий в сечениях m и n. Построить эпюры внутренних усилий. Уравнение оси арки – квадратная парабола с началом координат в точке А:

, где l = 12 м, f = 4 м.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

Sm_A = q6×3 + P∙9 – R_B12 = 0. R_B = 6 кН.

Sm_B = q6×9 + P∙3 – R_A12 = 0. R_A = 10 кН.

H = M_C^бал/f = (R_B6 – P∙3)/4 = 6 кН.

2. Строим эпюры Q_х^бал и М_х^бал .

3. По формуле (3.2) вычисляем значения М_х, получив предварительно ординаты заданных сечений m и n:

4. Вычисляем Q_m и Q_n, используя формулу (3.3)

Q_m=Q_m^балcosj_m - Hsinj_m

Для вычисления тригонометрических функций воспользуемся следующими математическими соотношениями:

;

,

тогда

, ,

, .

Аналогично:

sinj_n = - 0,555, cosj_n = 0,832.

Подсчитаем значения Q в заданных сечениях:

Q_m = Q_m^балcosj_m - Hsinj_m = 4×0,832 – 6×0,555 = 0.

В сечении n эпюра Q^бал имеет разрыв, аналогично будет разрыв и в эпюре поперечных сил арки. Поэтому необходимо подсчитать поперечную силу слева и справа от сечения:

Одновременно найдем поперечные силы в опорных сечениях А и В.

Q_A = 10×0,6 – 6×0,8 = 1,2 кН; Q_B = -6×0,6–6(-0,8) = 1,2 кН.

Q_C = - 2×1 = - 2 кН.

5. Вычисляем продольные усилия по формуле (3.4):

N_m = Q_m^балsinj_m + Hcosj_m = 4×0,555 + 6×0,832 = 7,218 кН,

N_n^л = (-2)×(- 0,555) + 6×0,832 = 6,108 кН,

N_n^пр = (- 6)×(- 0,555) + 6×0,832 = 8,328кН,

В опорных сечениях:

N_A = 10×0,8 + 6×0,6 = 11,6 кН,

N_В = (-6)×(-0,8) + 6×0,6 = 8,4 кН.

Таблица 1.

№ сеч.	х (м)	y (м)	tg φ	sinφ	cosφ	Mб	Н	М	Qб	Qб∙ cosφ	H∙ sinφ	Q	Qб∙ sinφ	H∙ cosφ	N
A			1.333	0.8	0.6						4.8	1.2		3.6	11.6
m			0.667	0.555	0.83					3.33	3.33		2.22	4.99	7.22
C									-2	-2		-2
n(л)			-0.667	-0.555	0.83				-2	-1.66	-3.33	1.66	-1.11	4.99	6.11
n(пр)			-0.667	-0.555	0.83				-6	-4.99	-3.33	-1.69	-3.33	4.99	8.33
B			-1.333	-0.8	0.6				-6	-3.6	-4.8	1.2	4.8	3.6	8.4

6. Сводим полученные значения в таблицу 1 и строим эпюры внутренних усилий в арке (рис. 3. 6).

Пример 3.2

Для заданной трехшарнирной рамы с размерами и нагрузкой, показанными на рис. 3. 7,а, построить эпюры внутренних усилий.

Решение.

1. Определяем опорные реакции:

Sm_A = - q12×18 - P∙3 + R_B24 = 0. R_В = 10,25 кН.

Sm_B = q12×6 + P∙21 – R_A24 = 0. R_А = 11,75 кН.

H = M_C^бал/f = (R_А∙12 – P∙9)/6 = 8.5 кН.

2. Строим эпюры Q_х^бал и М_х^бал (рис. 3. 7, б).

3. По формулам (3.2), (3.3), (3.4) вычисляем значения внутренних усилий, используя табличную форму.

(3.2)

Q_k=Q_k^балcosj_k - Hsinj_k (3.3)

N_k = Q_k^балsinj_k + Hcosj_k (3.4)

В таблицу 2 заносим опорные точки А и В, точки приложения сосредоточенной силы, начала и конца распределенной нагрузки и узлы рамы m и n. В точках приложения сосредоточенных сил в узлах необходимо находить по два усилия (слева и справа от сечения), поскольку в точках приложения сосредоточенных сил скачкообразно меняется поперечная сила, а в узлах слева и справа различный угол наклона поперечного сечения.

Таблица 2.

№ сеч.	х (м)	y (м)	sin φ	cos φ	Mб	Н	М	Qб	Qб cosφ	H sinφ	Q	Qб sinφ	H cosφ	N
A			0.707	0.707		8.5		11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k(л)			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	11.75	8.31	6.01	2.3	8.31	6.01	14.32
k(пр)			0.707	0.707	31.25	8.5	5.7	1.75	1.24	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n(л)			0.707	0.707	40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75	6.01	-4.77	1.24	6.01	7.25
n(пр)					40.5	8.5	-10.5	1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
C						8.5		1.75	1.75		1.75		8.5	8.5
m(л)					46.5	8.5	-4.5	-4.25	-4.25	-3.33	-0.92		8.5	8.5
m(пр)			-0.707	0.707	46.5	8.5	-4.5	-4.25	-3.0	-6.01	3.01	3.0	6.01	9.01
B			-0.707	0.707		8.5		-10.2	-7.25	-6.01	-1.24	7.25	6.01	13.3

Используя данные 8, 12 и 15 столбцов таблицы 2 строим эпюры внутренних усилий в трехшарнирной раме (рис. 3.8).