Оценка точности по невязкам в
ПОЛИГОНАХ И ХОДАХ
Невязки полигонов в сумме превышений нивелирных полигонов или в сумме углов
теодолитных полигонов являются погрешностями этих сумм. Поэтому для оценки точности измерений по невязкам используется формула:
_______
m = Ö [PD2] / n , в которой D i заменяется буквой fi ,веса - их выражением 1 / ni или 1/ L i , где n i - число станций в нивелирном полигоне или число углов в теодолитном полигоне; Li - периметр нивелирного полигона, а n - буквой N.
Тогда формула СКП единицы веса примет вид:
_________ _________
m = Ö [f 2 / n] / N или m = Ö [f 2 / L] / N ,
где N - число полигонов.
Решение типового примера
Пример 12
Произвести оценку точности нивелирования по невязкам полигонов, указанным в таблице.
| N полигонов | Невязки f h, мм | Число станций, n | f h2 / n |
| +32 | |||
| + 2 | |||
| - 21 | |||
| + 6 | |||
| + 8 | |||
| - 12 | |||
| - 31 | |||
| +15 | |||
СКП еденицы веса есть СКП превышения на станции, поскольку Р = 1 / n, имеем:
_____
m = mст = Ö 49 / 8 = 2.5 мм
Считая, что в среднем на 1 км хода приходится 10 станций, получим СКП на 1 км по формуле:
mкм = mст×Ö10 , mкм = 2.5×Ö10 = 7.2 мм.
Контрольная задача 19
В таблице приведены невязки в полигонах геометрического нивелирования и периметры полигонов.
| № полигонов | L, км | f h, мм |
| +18 | ||
| - 14 | ||
| +24 | ||
| +30 | ||
| +34 |
Оценить точность нивелирования.
Контрольная задача 20
Произвести оценку точности измерения углов по невязкам в полигонах.
| № полигонов | Число углов в полигонах | fp ¢ |
| - 2.5 | ||
| +4.8 | ||
| - 0.5 | ||
| - 2.8 | ||
| +3.0 | ||
| +5.2 |
Контрольная задача 21
По невязкам в треугольниках триангуляции произвести оценку точности угловых измерений.
| Номера треугольников | f ¢¢ | Номера треугольников | f ¢¢ |
| +10 | +2 | ||
| - 9 | - 8 | ||
| - 5 | +6 | ||
| +2 | +6 |
Справочные сведения
Округление приближенных чисел
Если отбрасывается часть больше 0.5 единицы предшествующего разряда, то округляемая цифра увеличивается на единицу, если меньше 0.5 единицы, то округляемая цифра остается без изменения.
Если отбрасываемая часть равна 0.5 единицы предшествующего разряда, округление производят до ближайшего четного числа.
Пример: 15.458 » 15.46; 22.144 » 22.14; 36.655 » 36.66.
Точность приближенных чисел
Точность приближенных чисел определяется числом значащих цифр.
Пример: число 28,3 имеет три значащих цифры. Число 0,00422 имеет тоже три значащих цифры. Число 0,06005 имеет шесть значащих цифр. Число 2500,0 имеет пять значащих цифр, так как оно верно до десятых долей единицы.
Если вместо числа 25643 взять число 26000, то говорят, что в округленном числе имеется две верные цифры; рекомендуемая запись этого числа - 26·103.
Абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная ошибка есть D = а - l, где а - истинное значение, l - результат измерения.
Пример. Число 3,14 есть приближенное значение числа. Так как 3,14159 также является приближенным значением числа с пятью цифрами после запятой, то D = 0,0016 есть абсолютная (истинная) ошибка.
Относительная ошибка равна 0.0016/3.14 = 1/2000.
Приближенное представление некоторых
Элементарных функций
sin x » x - x3/6 ; cos x » 1 - x2/2; tg x » x + x3/x;
_____
Ö a2 + x » a + x/2 a ; lx » 1 + x; ln(1 + x) » x;
Основные правила дифференцирования
Производная алгебраической суммы ( а + b + . . . + t)¢ =
= а' + b' + . . . + t'.
Производная произведения (u·v)' =u¢ v + v¢u.
Производная дроби (u / v)¢ = (u¢v - v¢u) / v2.
Производная сложной функции y = f (u) и u = j (x),
y¢ =f ¢(u) × j¢(x) или ¶y / ¶x = (¶y / ¶u) × (¶u / ¶x).
Таблица производных элементарных функций
| Функция y = f (x) | Производная y¢ = f¢ (x) | Функция y = f (x) | Производная y¢ = f¢ (x) |
| a = const | ex | ex | |
| a + x | ln x | 1/x | |
| xn | n×xn - 1 | sin x | cos x |
| axn | an×xn - 1 | cos x | - sin x |
| Öx | 1 / 2Öx | tg x | 1 / cos2x |
| n __ Öx | n ____ 1 / nÖxn - 1 | ctg x | - 1 / sin2x |
| 1 / x | - 1 / x2 | eu | eu u¢ |
| 1 / xn | - n / xn + 1 | au | au u¢ |
| ax | ax ln a | ln u | u¢ / u |
Вопросы для самопроверки:
1. Какие измерения называют равноточными?
2. Что называется погрешностью (ошибкой) измерений?
3. Как классифицируются погрешности измерения?
4. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
5. Что называется средней квадратической погрешностью?
6. Что называется предельной погрешностью измерения?
7. По какой формуле вычисляется СКП линейной функции измеренных величин?
8. По какой формуле вычисляется СКП функции общего вида?
9. Чему равна СКП алгебраической суммы измеренных величин в случае равноточных измерений?
10. Что называется арифметической серединой или средним арифметическим значением?
11. По какой формуле вычисляется средняя квадратическая погрешность одного измерения, если имеется ряд результатов равноточных измерений одной и той же величины, точное значение которой неизвестно?
12. Во сколько раз СКП арифметической средины меньше СКП одного измерения, имея в виду равноточные измерения одной и той же величины?
13. Какие измерения называются неравноточными?
14. Что называется весом измерения?
15. Какими свойствами обладают веса измерений?
16. Что называется средней квадратической погрешностью единицы веса?
17. Что такое обратный вес?
18. По какой формуле вычисляется обратный вес линейной функции измеренных величин?
19. По какой формуле вычисляется обратный вес функции общего вида?
20. Чему равен вес алгебраической суммы измеренных величин, если вес каждого измерения равен единице?
21. Чему равен вес арифметической средины, если вес каждого измерения равен единице?
22. Что называется общей арифметической срединой или средним весовым значением?
23. Что называют вероятнейшим значением измеряемой величины в случае неравноточных измерений этой величины?
24. Чему равен вес общей арифметической средины?
25. По какой формуле вычисляется СКП единицы веса, если известны погрешности результатов измерений величины?
26. По какой формуле вычисляется СКП единицы веса, если имеется ряд результатов неравноточных измерений величины и их веса?
27. По какой формуле вычисляется СКП общей арифметической средины, если известны СКП единицы веса и веса измерений?
28. Что называется обработкой результатов неравноточных измерений одной и той же величины?
29. По какой формуле вычисляется СКП измерения угла по невязкам в полигоне?
30. По какой формуле вычисляется СКП нивелирования хода, длиной 1 км, по невязкам в полигонах или ходах?