Показательные и логарифмические неравенства

Экспресс – курс подготовки

К ЕГЭ по математике

Вашему вниманию предложены следующие темы:

1. Преобразования степенных, иррациональных и логарифмических выражений.
2. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения.
3. Показательные и логарифмические неравенства.
4. Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов).

Весь необходимый материал изложен кратко и просто. Все теоретические вопросы сопровождаются разобранными примерными заданиями ЕГЭ по математике. Задания на экзамене будут сформулированы, может быть, иначе, но решаться они будут по подобным алгоритмам и по тем же формулам.

Желаем успешной сдачи экзамена!

Степенные выражения

Определения и свойства степени	Примеры
Определения: 1) a 1 = а (а R) 2) аn = а ∙ а ∙... a (а R, n N, n 0) 3) а 0=1 (а 0, а R) 4) а -n = (а 0, а с R, n N) 5) = (n N, m Q, а >0)	(-1,7в)1 = -1,7в (-1,7в)3 = (-1,7в) (-1,7в) (-1,7в) = -4,913 (—1,7 в)0=1, если в 0   (—0,25) -3 = = (-4)3 = 64 = = = = 8
Свойства:	Примеры
ах · ау = ах+у (ах)у = аху ах : ау = ах-у ах · bх = (аb)х =	m1,5 ∙ m-2 = m1,5+(-2)= m-0,5 l,53х.1,5 -0,5х= 1,52,5х =(0,25)-2 = 42 = 16 (5х)2 = 52х = (52)х = 25х   m1,5 : m-2 = m1,5-(-2)= m3,5 l,53х : 1,5 -0,5х= 1,53,5х 32х · 52х = (3∙5)2х =152х   =34=81
Свойства арифметических корней n-степени	Примеры
1) Если а 0, b≥0. то = ·
2) Если а 0, b>0. то =·	= = = =3
3) Если а 0, n N, k N, то =	-3 = -3 =-2
4) Если а 0, n N, k N, то =	=
5) Если а 0, n N, k N, то =

Преобразования степенных и иррациональных выражений

Пример 1. Вычислите: 4∙ + 0,5⁰.

Решение.

Первый способ. Используя определения степени с нулевым и дробным показателями, получаем: 4∙ + 0,5⁰ =4· +1 = 4∙3+1= 13.

Второй способ. Используя определения степени с натуральным и нулевым показателями и свойства степеней, получаем: 4∙ + 0,5⁰ =4∙ +1= 4∙ + 1 = 4∙3+1= 13

Ответ 13.

Пример 2. Найдите значение выражения .

Решение. Учитывая, что 81 = 27·3, а 24 = 8·3, и используя формулу = · , получим: = = 3 =3 =

Ответ: .

Пример 3. Упростите выражение .

Решение. = = = = =

Ответ:

Пример 4. Выполните действия: ( )² .

Решение. Используя определение степени с дробным показателем = (n N, m Q, а >0), а также свойства степеней (а^х)^у = а^ху, а^х · а^у = а^х+у, получаем:

( )² = · = · = =

Ответ:

Пример 5. Выполните действия:

Решение. = = = =

Ответ: .

Пример 6. Упростите выражение

Решение. = = = =3а

Ответ:3а.

Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения, встречающиеся на экзамене, чаще всего решаются методом возведения в степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, или заменой неизвестного. Не следует забывать, что в степень возводятся обе части уравнения.

Так как при возведении в степень обеих частей уравнения новое, получившееся после

этой операции уравнение, не всегда равносильно искомому, то нужно либо делать проверку, либо с самого начала выписывать неравенства, задающие область допустимых значений неизвестной величины. При осуществлении проверки значение неизвестной являющееся решением необходимо подставлять только в первоначальное уpaвнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение некоторых методов решения иррациональных уравнений.

Пример 1. Решите уравнение = 2х + 5.

Решение. Возведем исходное уравнение = 2х + 5 в степень, равную показателю корня ( )² = (2х + 5)² 5 - 4х =4х²+ 20х+25 4х² + 24х + 20 = 0;

х² + 6х + 5 = 0; х = -5 или х = -1.

Проверка. х = -5: = 2·(-5) + 4

= -5

Это неверное числовое равенство, значит, число -5 не является корнем данного уравнения.

х = - 1: = 2·(-1) + 4

= 3

Это верное числовое равенство, значит, число -1 является корнем данного уравнения.

Показательные и логарифмические неравенства

Пример 2. Решите неравенство 4^х ≥

Решение. Так как = 2^-1 и 4^х = 2^2х, то исходное неравенство равносильно неравенству 2^2х≥2^-1 . Функция у = 2^х возрастающая, т, к. 2 > 1. Поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное, равносильно неравенству 2х ≥ -1, то есть х ≥ -0,5.

Ответ: 3.

Пример 3. Найдите число целых отрицательных решений неравенства .

Решение. Неравенство равносильно неравенству

Поскольку <1, то функция у = убывает, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству 0.5х - 1 -3. Отсюда получаем х -4. Целыми отрицательными решениями неравенства являются четыре числа: -4, -3, -2, -1.

Ответ:4.

Пример 4. Найдите число целых решений неравенства lоg _0,5(х - 2) -2.

Решение. Запишем правую часть неравенства как произведение -2 ∙1 и воспользуемся тождеством 1 = lоg_bа, при условии а = 0,5.

Получим:

1оg_0,5(х - 2) -2. 1; 1оg _0,5(х - 2) -2 1оg _0,5 0,5;

1оg_0,5(х - 2) 1оg _0,5 0,5^-2 ; 1оg _0,5(х - 2) lоg _0,5 4.

Поскольку 0,5 < 1, то функция у = 1оg _0,5х убывающая, поэтому полученное неравенство, а значит, и исходное неравенство, равносильно неравенству 0 < х-2 4 (условие 0 < х - 2 получено с учетом области определении логарифмической функции).

Отсюда получаем 2 < х 6. Следовательно, х принимает 4 целых значения: 3; 4; 5; 6.

Ответ: 4.

Пример 5. Решите неравенство ln (х- 1) < ln (3х+ 2).

Решение. Т. к. е > 1, то функция у = ln х возрастающая, следовательно, данному неравенству равносильна система неравенств

х - 1 < 3х+2, 2х > -3 х >1,5

х - 1 > 0 х > 1 х >1

Итак, решения неравенства составляют интервал (1;+ )

Ответ: ( 1 ; + )

Дробно-рациональные неравенства (метод интервалов)

Пример 6. Решите неравенство

Решение. Найдем значения переменной, при которых дробь равна нулю: 3х — 6 = 0, х =2. Найдем значения переменной, при которых дробь не имеет смысла: (х — 6) (х + 6) = 0,

х = . Отметим на координатной прямой найденные числа:

-6 2 6 х

На каждом из получившихся промежутков определим знак значений дроби:

при х = 7 имеем > 0; при х = 5 имеем < 0

при х = 0 имеем > 0; при х = -7 имеем < 0.

Отметим эти данные на рисунке

- + - +

-6 2 6 х

Дробь принимает неположительные значения на промежутках ( - ;-6 ) [ 2 ; 6 ]

Ответ: ( - ;-6 ) [ 2 ; 6 ]

Пример 7. Вычислите сумму всех натуральных решений неравенства 0

Решение. х - 2 = 0, х = 2

(х - 5)(3х -12) = 0, х =5 или х = 4

2 4 5 х

На крайнем правом промежутке дробь принимает положительные значения, т. к. > 0. совпадающих корней у числителя и знаменателя дроби нет, значит, на полученных промежутках знаки чередуются (см. рис.).

- + - +

2 4 5 х

Решением неравенства будет объединение промежутков (- ;2] (4;5). На этих промежутках находятся два натуральных сила 1 и 2. Сумма этих чисел 1 + 2 = 3

Ответ: 3.