Метод последовательных приближений

Задано линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

, (6)

где y(t), K(t,s) – заданные функции, x(t) – искомая функция, λ – числовой параметр.

Запишем уравнение (6) в виде

, (7)

где отображение , X – банахово пространство. Предположим, что параметр λ, ядро K(t,s) таковы, что отображение F является сжимающим с коэффициентом сжатия λ. Тогда уравнение (6) имеет единственное решение, которое можно найти методом последовательных приближений с помощью следующих рекуррентных соотношений:

(8)

Приближения (8) сходятся к решению уравнения (6) с некоторой скоростью, причем величина погрешности n-го приближения определяется неравенством

, (9)

где - нулевое приближение, которое выбирается произвольным образом.

Задание 1

Задание: Определить, при каких для следующих интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в пространстве C[0, 1], [0, 1] можно применить метод сжимающих отображений. При найти приближенное решение методом последовательных приближений с точностью , сравнить его с точным решением: +

Решение:

Рассмотрим пространство C[0, 1]. Определим , при которых применим метод сжимающих отображений для данного уравнения.

F(x) = + ;

= = ≤ = .

≤ 1 => ≤ .

Т.е. при ≤ применим метод сжимающих отображений.

Положим , тогда . Оценим нужное количество итераций с помощью неравенства (положив = 0, тогда = , и = 1):

≤ 0,001 => ≤ .

Следовательно, будет решением с требуемой точностью.

С помощью программы посчитаем (t) = 0.214239 t^1/3+t²

^{Листинг 1: Программа для вычисления приближённой функции x(t) (Wolfram Mathematica 7.0):}

Clear[x,t];

x[t_]=0;

For[i=1,i<=8,i++,

x[t_] = 0.5*Integrate[(t*s)^(1/3)*x[s], {s, 0, 1}]+t^2;

];

Print[x[t]];

Сравним это решение с точным. Положим C = , тогда .

Подставив в исходное уравнение, получим:

(1.1)

Тогда = 4.6E-5 ≤ 0,001.

Рассмотрим пространство [0, 1]. Оценим ядро:

= = ≤ 1.

Т.е. F(x) отображает [0, 1] на себя и является сжимающим при ≤ . Поэтому при к данному уравнению можно применить метод сжимающих отображений. В данном случае понадобится число итераций, определяемое соотношением:

< 0,001 (1.2)

Откуда получаем: = < 0,001.

Т.е. при n = 6 достигается требуемая точность.

Задание 2

Задание:Вычислить приближенное решение уравнения с точностью 0,01:

. (2.1)

Приведём это уравнение к виду . Сделаем это, выразив :

(2.2)

Найдём и радиус такие, что шар B[ , ] инвариантен относительно отображения F и в этом шаре F – сжимающее. Т.к. F является дифференцируемой, то в качестве константы Липшица можно взять .

В данном случае = - . Выберем центр шара = -1, выберем из следующих условий:

(2.3)

= , . Тогда:

(2.4)

Выберем одно из решений системы, например, r = 1. Тогда отрезок [-2, 0] инвариантен относительно отображения F, на нём отображение F – сжимающее, и = . Оценим расстояние:

(2.5)

То есть при n = 6 будет достигнута требуемая точность.

С помощью программы посчитаем :

^{Листинг 2: Программа для вычисления приближённого значения одного из корней (Wolfram Mathematica 7.0):}

Clear [F, x];

F[x_]=(1./8)*(-2*x^2-5);

x = -1;

For [i=1, i£6, i++,

x = F[x];

];

Print [x];

На выходе получаем, что . Тогда по теореме Виетта мы можем вычислить второй корень .

Ответ: , .

Задание 3

Задание:Определить, является ли отображение f нормированного пространства Е на себя сжимающим. Вычислить , где = , = 0, и оценить расстояние от до неподвижной точки.

Е = [-1, 1], .

Решение: Проверим, является ли f сжимающим.

= ≤ .

То есть f является сжимающим отображением с коэффициентом .

Тогда:

= 0,

= ,

= ,

= .

Оценим расстояние от до неподвижной точки:

= = 0.3363.

Задание 4

Задание:Выяснить, является ли отображение F: X -> Y непрерывным, равномерно непрерывным, удовлетворяющим условию Липшица.

X = C[-2, 4], Y = C[-2, 4], F(x) = .

Решение:Проверим, удовлетворяет ли отображение условию Липшица.

Т.е. удовлетворяет, и константа Липшица Т.к. отображение удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, т.е. для любого ε существует

, что при => ≤ ε.

Т.к. отображение равномерно непрерывное, то оно является и непрерывным.