Примеры потенциальных полей

1. Рассмотрим поле тяготения точечной массы m, помещённой в начало координат О(0,0,0). Такое поле описывается вектор-функцией , где γ – гравитационная постоянная, - радиус-вектор точки , . С такой силой действует поле на единичную массу, помещённую в точку . Поле тяготения потенциально. Его можно представить как градиент скалярной функции , называемой ньютоновским потенциалом поля тяготения точечной массы m. В самом деле:

Аналогично: Тогда

2. Поле электрического точечного заряда е, помещённого в начало координат, описывается в точке вектором напряжённости , ( , .) Это поле потенциально. Его можно представить как градиент скалярной функции , которая называется потенциалом электрического поля точечного заряда е. .

Определение 8.Поверхности уровня (линии уровня для плоского поля) потенциала называются эквипотенциальными поверхностями (линиями).

Отметим, что эквипотенциальная поверхность (линия) и векторная линия, проходящие через общую точку , взаимно ортогональны в ней.

Пример 13. Проверить, является ли поле потенциальным. Если является, то найти потенциал поля, построить эквипотенциальные линии и векторные линии поля. Выделить векторную и эквипотенциальную линии, проходящие через точку .

Решение. Поле определено на всей плоскости XOY.

, ;

Проверим, выполняются ли необходимые и достаточные условия потенциальности: , поле потенциально.

1.Для нахождения функции составим систему: .

Из первого уравнения, проинтегрировав его по переменной x, найдём:

.(Роль константы здесь играет любая функция, зависящая от x). Для отыскания подставим найденную функцию во второе уравнение системы:

. Получили .

2.Условие эквипотенциальности: , отсюда получаем семейство эквипотенциальных линий .

Приведём уравнение к каноническому виду:

.

Это семейство гипербол при .

Если , получим уравнения прямых .

Строим эквипотенциальные линии на плоскости XOY.

3.Векторные линии поля . Составим дифференциальное уравнение векторных линий поля: .Решим его :

- семейство гипербол, если , и две прямые , если . Строим векторные линии на плоскости XOY.

Эквипотенциальные и векторные линии в точках пересечения ортогональны. Проверим это для линий, проходящих через точку .

4.Подставим координаты точки в уравнение векторных линий: . Через точку М проходит векторная линия .

Аналогично найдём для эквипотенциальной линии, проходящей через точку М: . Через точку М проходит эквипотенциальная линия .

Вычислим угловые коэффициенты касательных к этим кривым в точке М:

Для векторной линии: в т. М: .

Для эквипотенциальной линии в т. М: .

- условие перпендикулярности двух касательных.

Вывод: векторная и эквипотенциальная линии в точке М ортогональны.

Пример 14. Убедиться, что поле является потенциальным, найти потенциал поля и вычислить работу, совершаемую этим полем при перемещении материальной точки из в .

Решение. Для ответа на вопрос о потенциальности данного поля вычислим частные производные от функций , , . Эти функции непрерывны вместе со своими частными производными в любой точке .

; ; ; ; ; .

Видим, что выполняются необходимые и достаточные условия потенциальности поля : , , , ч. т. д.

Для вычисления потенциала воспользуемся тем, что линейный интеграл в таком поле не зависит от пути интегрирования и может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница. Пусть точка - начало пути, а некоторая точка - конец пути. Вычислим интеграл по контуру, состоящему из отрезков прямых, параллельных координатным осям (см.Рисунок 10). .

Уравнения частей контура: , , .

Тогда

, x здесь зафиксирован, поэтому ,

, здесь зафиксирован y, поэтому .

В итоге получаем: .

Теперь тот же интеграл вычислим по формуле Ньютона-Лейбница. = = .

Приравняем результаты: .

Из полученного равенства следует, что , а Потенциал данного поля найден.

Найдём работу, совершаемую векторным полем при перемещении точки из в . В потенциальном поле работа равна разности потенциалов в конечной и начальной точках пути, т. е.

Пример 15.Убедиться в потенциальности векторного поля , найти уравнения эквипотенциальных поверхностей и выделить среди них ту, которая проходит через точку M(2,1,1).

Решение. Поле определено в каждой точка пространства . Проверим потенциальность поля (см. (11)):

условия выполнены, поле потенциально. Можно найти потенциал так же, как в примере 12, а можно другим способом. Для нахождения потенциала имеем систему:

.

Интегрируя первое уравнение системы по переменной x, найдём . Продифференцируем полученное выражение по y: .Из второго уравнения системы получаем: .Уточним выражение для потенциала:

. Дифференцируем по переменной z и сравниваем с третьим уравнением системы: .

Восстановим всю функцию: . Потенциал найден.

Потребовав , получим уравнения эквипотенциальных поверхностей:

.

Приведём это уравнение к каноническому виду: .

Это уравнения сфер с центром в точке O(0;1;1) и радиусом

Найдём эквипотенциальную поверхность, проходящую через точку M(2,1,1). Подставим координаты точки в уравнение поверхности, определим :

через точку М проходит сфера .

Найдём векторную линию поля, проходящую через точку М.

Уравнения векторных линий:

в т. М: , т. е. через т. М проходит прямая . Т.к. она проходит через центр сферы, касательная плоскость к сфере в т. М ей перпендикулярна. Т. е. векторная линия и эквипотенциальная поверхность в т. М взаимно ортогональны.

Направление движения поля по этой линии совпадает с направлением оси OX при x>0 и противоположно ему при x<0. Это совпадает с направлением увеличения потенциала U. Действительно, чем больше потенциал, тем больше радиус сферы.

Контрольное задание 6.

1. Проверить, что векторное поле потенциально. Найти его потенциал. Изобразить линии равного потенциала. Найти векторные линии и изобразить их на том же рисунке. Вычислить работу поля при перемещении материальной точки от точки до . Найти векторную линию и эквипотенциальную линию, проходящую через точку .

2. Проверить, является ли векторное поле потенциальным. Если да, найти его потенциал.

3. Найти потенциал гравитационного поля .

4. Показать, что векторное поле потенциально и найти его потенциал.

Поток векторного поля.

Пусть σ – некоторая ориентированная поверхность в области G. Выберем определённую её сторону, задав единичный вектор нормали к поверхности .

Определение 9. Потоком вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля на нормальный единичный вектор: П . (13)

Имеют место другие формы записи потока вектора. Например, учитывая, что Пр получим: П .

Или можно определить вектор , направленный по нормали к поверхности, такой, что: , . Тогда: . (14)

Если поверхностьσзамкнута, то обычно за направление вектора берут направление внешней нормали к поверхности и обозначают

. (15)

Если изменить ориентацию (взять другую сторону поверхности), то скалярное произведение и, соответственно, поток меняют знак.

Поток можно записать в координатной форме, представив соответствующим образом скалярное произведение векторов и :

. (16)

Или , (17)

где в правой части имеем поверхностный интеграл второго рода.

Каждое из слагаемых в формуле (17) преобразуется в двойной интеграл по области D, являющейся проекцией поверхности σ на соответствующую координатную плоскость:

(18)

где - проекции σ на координатные плоскости Oyz, Oxz, Oxy соответственно. Знак перед двойным интегралом в правой части совпадает со знаком косинуса угла между нормальным вектором к поверхности и положительным направлением осей Ox, Oy, Oz соответственно. Выражения получают, выражая переменные из уравнения поверхности σ: . Можно свести вычисление потока к вычислению интеграла первого рода, подставив в формулу (16) , , .

Пример 16.Вычислить поток векторного поля через часть плоскости , заключённую в первом октанте, в сторону нормали, составляющей тупой угол с осью OY.

Решение.

По формуле (13) , где σ – плоскость S: .

Вспомним, что нормальный вектор к плоскости с уравнением имеет вид . В нашей задаче , этот вектор составляет острый угол с осью OY. Тогда .

Сведём задачу к вычислению интеграла I рода (см. (13)).

, .

Но , т.е. . Из векторной алгебры известно, что площадь треугольника MNP (см.Рисунок 12) Ответ: .

Пример 17.
Найти поток векторного поля через часть поверхности , если вектор нормали к поверхности составляет острый угол с положительным направлением оси OX.

Решение. Составим интеграл для вычисления потока поля:

(см. (16)).

По рисунку 12 видим, что вектор составляет с OX острый угол, с OY - прямой, с OZ – тупой, следовательно, .

Из (18) следует: .

Вычислим . Проекция линии пересечения и на плоскость YOZ: . Тогда: .Из уравнения поверхности . Тогда

.

Вычислим . Из уравнения поверхности . Тогда

.

Получаем поток .

Результат можно проверить, сведя задачу к поверхностному интегралу I рода. Для этого найдём направляющие косинусы и вычислим . Если уравнение поверхности имеет вид , то вектор нормали к ней , а .

В примере (15) уравнение поверхности: . Учитывая, что нормальный вектор составляет острый угол с осью OX, имеем . Тогда .

Для вычисления этого интеграла I рода спроектируем σ на плоскость XOY (см. рис. 12), тогда:

Из уравнения поверхности : , .

Получаем .

Ответ: .

Контрольное задание 7.

1. Найти поток векторного поля через часть параболоида двумя способами, по формулам (15) и (17).

2. Вычислить поток векторного поля через ориентированную поверхность σ, если: а) σ – часть конической поверхности , нормаль внешняя; б) σ – часть плоскости , .

3. Вычислить поток векторного поля через часть сферы .